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Grundwissen

Durchschnitts- und Momentangeschwindigkeit

Aufgaben Aufgaben

Wenn du den Artikel über die gleichförmige Bewegung durchgearbeitet hast, wirst du sofort erkennen, dass das nebenstehende Diagramm, das die geradlinige Fahrt eines Autos dokumentiert, keine gleichförmige Bewegung beschreibt.

Aufgabe

Charakterisiere die in dem Diagramm dargestellte Bewegung in Worten.

Lösung

Die Bewegung beginnt bei \(x = 0\).

Im ersten Abschnitt zwischen \(t = 0\) und \(t = {t_1}\;(0 < t < {t_1})\) wird das Auto immer schneller. Man kann dies daran erkennen, dass die zurückgelegten Wegstrecken \(\Delta x\) bei fester Zeitspanne \(\Delta t\) zunehmen.

Im zweiten Abschnitt \(({t_1} < t < {t_2})\) wird das Auto wieder langsamer (vgl. Animation unten).

Im dritten Abschnitt \(({t_2} < t < {t_3})\) steht das Auto, da mit fortscheitender Zeit keine Ortsänderung stattfindet.

Abb. 2 \(t\)-\(x\)-Diagramm einer ungleichförmigen Bewegung

Es ist offensichtlich, dass bei der betrachteten Bewegung Zeit und Ort nicht zueinander direkt proportional sind, dass also keine gleichförmige Bewegung vorliegt.

Um die "Schnelligkeit" einer nicht gleichförmigen Bewegung beschreiben zu können, haben die Physiker die Begriffe Durchschnittsgeschwindigkeit \({\bar v}\) (auch mittlere Geschwindigkeit genannt) und Momentangeschwindigkeit \(v\) geschaffen. Die Durchschnittsgeschwindigkeit charakterisiert die "Schnelligkeit" in einem (meist größeren) Zeitraum, die Momentangeschwindigkeit beschreibt die "Schnelligkeit" in einem Zeitpunkt.

 

Definition der Durchschnittsgeschwindigkeit

Als Durchschnittgeschwindigkeit (oder mittlere Geschwindigkeit) \(\bar v\) einer Bewegung zwischen zwei Zeitpunkten \(t_{\rm{A}}\) und \(t_{\rm{E}}\) ("A" steht für den Anfang und "E" für das Ende der Bewegung) definieren wir den Quotienten aus der zwischen diesen beiden Zeitpunkten zurückgelegten Strecke \(\Delta x = x_{\rm{E}}-x_{\rm{A}} = x(t_{\rm{E}})-x(t_{\rm{A}})\) und der verstrichenen Zeitspanne \({\Delta t}=t_{\rm{E}}-t_{\rm{A}}\):\[\bar v = \frac{{\Delta x}}{{\Delta t}} = \frac{{{x_{\rm{E}}} - {x_{\rm{A}}}}}{{{t_{\rm{E}}} - {t_{\rm{A}}}}}\]Für die Maßeinheit der Durchschnittsgeschwindigkeit ergibt sich\[[\bar v] = \frac{{[\Delta x]}}{{[\Delta t]}} = \frac{1\,\rm{m}}{1\,\rm{s}} = 1\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]

Abb. 3 Bestimmung der Durchschnittsgeschwindigkeit einer Bewegung anhand des \(t\)-\(x\)-Diagramms

Hinweis

Wahrscheinlich wirst du dir denken, dass diese Festlegung genauso ist wie die Festlegung der Geschwindigkeit bei der gleichförmigen Bewegung. Die Definition der Durchschnittsgeschwindigkeit ist jedoch nicht nur auf die gleichförmige Bewegung beschränkt, sondern ist auf alle Bewegungstypen anwendbar.

Die folgende Abbildung zeigt die Graphen zweier Bewegungen, deren Durchschnittsgeschwindigkeiten (bezogen auf den gesamten Bewegungszeitraum) übereinstimmen, die aber trotzdem sehr verschieden sind:

Um Details in der "Schnelligkeit" einer Bewegung beschreiben zu können, hat man in der Physik den Begriff der Momentangeschwindigkeit eingeführt.

Wenn wir die Momentangeschwindigkeit beim Bewegungsablauf in der linken Grafik, mit einfachen Werkzeugen ermitteln wollen, werden wir unsere Kenntnisse über die Durchschnittsgeschwindigkeit einsetzen.

Abb. 4 Bestimmung der Momentangeschwindigkeit eines Autos mithilfe zweier Lichtschranken und Darstellung des Vorgangs im \(t\)-\(x\)-Diagramm (hier \(t\)-\(s\)-Diagramm)

Um die Momentangeschwindigkeit des Autos zum Zeitpunkt \({t_1}\) am Ort \({s_1}\) zu ermitteln, kann man z.B. kurz vor \({s_1}\) und kurz nach \({s_1}\) Lichtschranken, welche den Abstand \(\Delta s\) haben, postieren. Man misst dann die Zeit \(\Delta t\), die das Auto zum Passieren der beiden Lichtschranken benötigt. Dies ist die gleiche Vorgehensweise, die wir zur Ermittlung einer Durchschnittsgeschwindigkeit kennen gelernt haben.

Um eine möglichst genaue Information über die Geschwindigkeit am Ort \({s_1}\) zu bekommen, sollte der Abstand der beiden Lichtschranken so klein wie möglich sein (\(\Delta s \to 0\)).

Hinweis: Hier siehst du schon, dass die Forderung \(\Delta s \to 0\) auf praktische Probleme stößt, da die Lichtschranken einander nicht beliebig genähert werden können.

Die Momentangeschwindigkeit \(v\) zum Zeitpunkt \(t\) ist die Durchschnittsgeschwindigkeit in einem möglichst kleinen Zeitintervall \(\Delta t\), das um den Zeitpunkt \(t\) gelegt wird.

Definition der Momentangeschwindigkeit

Als Momentangeschwindigkeit \(v\) einer Bewegung zu einem Zeitpunkt \(t\) definieren wir Durchschnittsgeschwindigkeit in einem möglichst kleinen Zeitintervall \(\Delta t\), das um den Zeitpunkt \(t\) gelegt wird:\[v = \frac{{\Delta x}}{{\Delta t}}\;\;{\rm{mit}}\;\;\Delta t \to 0\]Für die Maßeinheit der Momentangeschwindigkeit ergibt sich\[[v] = \frac{{[\Delta x]}}{{[\Delta t]}} = \frac{1\,\rm{m}}{1\,\rm{s}} = 1\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]

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