Ein Auto mit der Masse \(1{,}0\,\rm{t}\) fährt mit einer Geschwindigkeit von \({\rm{54}}\,\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\).
a)
Berechne den Bremsweg des Autos unter der Annahme, dass die kinetische Energie des Autos vollständig für Reibarbeit in der Bremse mit dem Reibungskoeffizienten \(\mu _{\rm{R}}=0{,}8\) verwendet wird.
b)
\(90\% \) der Bewegungsenergie erwärmt die Bremstrommeln (\(c = 0{,}45\,\frac{{{\rm{kJ}}}}{{{\rm{kg}} \cdot {\rm{K}}}}\)).
Berechne, um wie viel Grad Celsius sich eine Bremstrommel mit der Masse \(8{,}0\,\rm{kg}\) erwärmen würde, wenn keine Kühlung stattfinden würde.
c)
Berechne die Länge des Bremswegs bei doppelter Geschwindigkeit.
Zunächst musst du die Geschwindigkeit in die Einheit \(\rm{\frac{m}{s}}\) umrechnen:\[54\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}} = 54\frac{{1000}}{{3600}}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 15\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]Anschließend berechnest du die kinetischen Energie des Autos:\[{E_{{\rm{kin}}}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v^2} \Rightarrow {E_{{\rm{kin}}}} = \frac{1}{2} \cdot 1{,}0 \cdot {10^3}\,{\rm{kg}} \cdot {\left( {15\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)^2} = 1{,}1 \cdot {10^5}\,{\rm{J}}\]Für die Reibungsarbeit gilt nun\[{W_{\rm{R}}} = {F_{\rm{R}}} \cdot s = {\mu _{\rm{R}}} \cdot m \cdot g \cdot s\]Gehst du davon aus, dass die gesamte kinetische Energie für die Reibarbeit verwendet wird, so gilt\[{W_{\rm{R}}} = {E_{{\rm{kin}}}} \Leftrightarrow {\mu _{\rm{R}}} \cdot m \cdot g \cdot s = {E_{{\rm{kin}}}} \Leftrightarrow s = \frac{{{E_{{\rm{kin}}}}}}{{{\mu _{\rm{R}}} \cdot m \cdot g}}\]Nun setzt du die gegebenen Werte ein und berechnest\[s = \frac{{1{},1 \cdot {{10}^5}\,{\rm{J}}}}{{0,80 \cdot 1{,}0 \cdot {{10}^3}\,{\rm{kg}} \cdot 9{,}81\,\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}}}} = 14\,{\rm{m}}\]
b)
Die Gesamtenergie, die zur Erwärmung der Trommeln beiträgt, beträgt \[\Delta {E_{{\rm{i}}{\rm{,ges}}}} = 0{,}90 \cdot {E_{{\rm{kin}}}} = 0,90 \cdot 1,1 \cdot {10^5}{\mkern 1mu} {\rm{J}} = 9,9 \cdot {10^4} {\rm{J}}\]Für ein Rad steht somit die innere Energie\[\Delta {E_{{\rm{i,Rad}}}} = \frac{{\Delta {E_{{\rm{i}}{\rm{,ges}}}}}}{4} = \frac{{9,9 \cdot {{10}^4}}}{4} {\rm{J}} = 2,5 \cdot {10^4} {\rm{J}}\]zur Verfügung. Damit ergibt sich\[\Delta {E_{{\rm{i}}{\rm{,Rad}}}} = c \cdot m \cdot \Delta \vartheta \Leftrightarrow \Delta \vartheta = \frac{{\Delta {E_{{\rm{i}}{\rm{,Rad}}}}}}{{c \cdot m}}\]\[\Rightarrow \Delta \vartheta = \frac{{2,5 \cdot {{10}^4}{\rm{J}}}}{{0,45 \cdot {{10}^3}\frac{{\rm{J}}}{{{\rm{kg}} \cdot {\rm{K}}}} \cdot 8,0{\rm{kg}}}} = {\rm{7K}}\]
c)
Bei doppelter Geschwindigkeit ist die kinetische Energie viermal so groß. Somit ist auch der Bremsweg viermal so lang. Es ist also \(s' = 4\cdot 14\,\rm{m}=56\, {\rm{m}}\).
