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Aufgabe

Autokühler

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Damit der Motorblock eines Autos im Betrieb nicht zu heiß wird, muss man ihn kühlen. Meist geschieht dies mit einer Kühlflüssigkeit, die im Kühler durch den Fahrtwind abgekühlt wird.

Die Kühlflüssigkeit habe zu Betriebsbeginn die Temperatur \(6^\circ {\rm{C}}\), der Kühler aus Kupfer mit einem Fassungsvermögen von \(10\ell \) sei randvoll mit Kühlflüssigkeit gefüllt. Während der Fahrt habe die Kühlflüssigkeit die Temperatur \(92^\circ {\rm{C}}\), sie dehnt sich also aus. In einem Überlaufgefäß wird die überschüssige Flüssigkeit aufgefangen.

Die Volumenausdehnungszahl der Kühlflüssigkeit sei \({\gamma _{\rm{K}}} = 4,1 \cdot {10^{ - 4}}\frac{1}{{^\circ {\rm{C}}}}\).

  1. Entwickle eine zur Längenänderung analoge Formel für die Volumenänderung einer Flüssigkeit.
  2. Berechne, wie viel Kubikzentimeter Kühlflüssigkeit in das Überlaufgefäß treten, wenn die Ausdehnung des Kühlers nicht berücksichtigt wird.
  3. Berechne, wie viel Kubikzentimeter Kühlflüssigkeit in das Überlaufgefäß treten, wenn die Ausdehnung des Kupfer-Kühlers (\({\gamma _{\rm{Cu}}} = 5,1 \cdot {10^{ - 5}}\frac{1}{{^\circ {\rm{C}}}}\)) berücksichtigt wird.

 

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  1. Die Formel für die Längenänderung lautet
    \[\Delta l = \alpha  \cdot {l_0} \cdot \Delta \vartheta \]
    Ersetzt man die Anfangslänge durch das Anfangsvolumen, die Längenänderung durch die Volumenänderung und den Längenausdehnungskoeffizienten durch den Volumenausdehnungskoeffizienten, so erhält man die Formel für die Volumenänderung sich regelmäßig ausdehnender Flüssigkeiten
    \[\Delta V = \gamma  \cdot {V_0} \cdot \Delta \vartheta \]
  2. Die Ausdehnung der Kühlflüssigkeit berechnet sich durch
    \[\Delta {V_{\rm{K}}} = {\gamma _{\rm{K}}} \cdot {V_0} \cdot \Delta \vartheta  \Rightarrow \Delta {V_{\rm{K}}} = 4,1 \cdot {10^{ - 4}}\frac{1}{{^\circ {\rm{C}}}} \cdot 10\ell  \cdot \left( {92^\circ {\rm{C}} - 6^\circ {\rm{C}}} \right) = 3,5 \cdot {10^{ - 1}}\ell  = 350{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\]
  3. Die Ausdehnung des Kupfer-Kühlers (auch Hohlräume dehnen sich aus) berechnet sich durch
    \[\Delta {V_{{\rm{Cu}}}} = {\gamma _{{\rm{Cu}}}} \cdot {V_0} \cdot \Delta \vartheta  \Rightarrow \Delta {V_{\rm{K}}} = 5,1 \cdot {10^{ - 5}}\frac{1}{{^\circ {\rm{C}}}} \cdot 10\ell  \cdot \left( {92^\circ {\rm{C}} - 6^\circ {\rm{C}}} \right) = 4,3 \cdot {10^{ - 2}}\ell  = 43{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\]
    Das in Teilaufgabe b) berechnete überlaufende Flüssigkeitsvolumen muss um die Volumenausdehnung des Kupfer-Kühlers vermindert werden
    \[\Delta {V_{\rm{K}}}^* = \Delta {V_{\rm{K}}} - \Delta {V_{{\rm{Cu}}}} = 3,5 \cdot {10^{ - 1}}\ell  - 4,3 \cdot {10^{ - 2}}\ell  = 3,1 \cdot {10^{ - 1}}\ell  = 310{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\]