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Aufgabe

GALILEI-Thermometer

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Abb. 1 Aufbau und Funktionsweise eines GALILEI-Thermometers

Das GALILEI-Thermometer besteht aus einem großen, geschlossenen, mit Flüssigkeit (z.B. Ethanol) gefüllten Glasbehälter mit bunten darin schwebenden wiederum flüssigkeitsgefüllten Glaskugeln. Die Kugeln schwimmen, schweben oder liegen am Grund - je nach Auftrieb.

Steigt die Temperatur der Flüssigkeit im großen Behälter, so nimmt deren Dichte ab und somit nach dem Gesetz von ARCHIMEDES auch der Auftrieb der Kugeln. Schwebende Kugeln sinken herab, schwimmende Kugeln beginnen zu schweben.

Sinkt dagegen die Außentemperatur, so beginnen am Boden liegende Kugeln zu schweben, schwebende Kugeln zu schwimmen.

Sind die Dichten der Kugeln auf die verschiedenen, temperaturabhängigen Dichten der Flüssigkeit abgestimmt, ergibt sich eine - zwar grobe, aber dekorative - Möglichkeit der Temperaturmessung.

Bei der Herstellung des Thermometers werden die Glaskugeln, nach deren Dichte gestaffelt in den großen Zylinder eingefüllt. An jeder Kugel hängt ein Schildchen mit entsprechender Temperaturangabe. Die Kugeln ordnen sich nun untereinander an, die unterste der oben schwimmenden Glaskugeln zeigt die Temperatur der Flüssigkeit an (vgl. hierzu die Animation in Abb. 1).

Hinweis: Die folgende Aufgabe richtet sich nur an mathematisch besonders interessierte Schülerinnen und Schüler.

Das Volumen einer Glaskugel sei \({V_{\rm{K}}} = 10{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\), als Flüssigkeit werde Ethanol (Dichte bei \(0^\circ {\rm{C}}\): \({\rho _0} = 0,79\frac{{\rm{g}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}}}\); Volumenausdehnungskoeffizient \(\gamma  = 1,1 \cdot {10^{ - 3}}\frac{1}{{^\circ {\rm{C}}}}\)) verwendet.

a)Entwickle eine Formel, die das Volumen der Flüssigkeit \(V(\vartheta )\) in Abhängigkeit vom Anfangsvolumen \(V_0\), dem Volumenausdehnungskoeffizient \(\gamma\) und der Temperaturänderung \(\Delta \vartheta \) darstellt.

b)Entwickle daraus eine Formel für die temperaturabhängige Dichte \(\rho (\vartheta )\) in Abhängigkeit von \({\rho _0}\).

c)Berechne, um wie viel sich die Masse der von der Kugel verdrängten Flüssigkeit ändert, wenn sich die Temperatur um \(1^\circ {\rm{C}}\) erhöht.

Berechne weiter, welchen Massenunterschied also die Kugeln mit den Marken \(22^\circ {\rm{C}}\) und \(24^\circ {\rm{C}}\) haben sollten.

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a)Es wird angenommen, dass Ethanol eine regelmäßige Ausdehnung zeigt. Dann gilt\[\Delta V = \gamma  \cdot {V_0} \cdot \Delta \vartheta  \Rightarrow V(\vartheta ) = {V_0} + \Delta V = {V_0} + \gamma  \cdot {V_0} \cdot \Delta \vartheta  = {V_0} \cdot \left( {1 + \gamma  \cdot \Delta \vartheta } \right)\]

b)Für die Dichte gilt\[\rho (\vartheta ) = \frac{m}{{V(\vartheta )}} = \frac{m}{{{V_0} \cdot \left( {1 + \gamma  \cdot \Delta \vartheta } \right)}} = \frac{m}{{{V_0}}} \cdot \frac{1}{{1 + \gamma  \cdot \Delta \vartheta }} = {\rho _0} \cdot \frac{1}{{1 + \gamma  \cdot \Delta \vartheta }}\]

c)Für die Änderung der Dichte - wenn sich die Temperatur um \(1^\circ {\rm{C}}\) erhöht - gilt\[\Delta \rho  = {\rho _0} - \rho (\vartheta ) = {\rho _0} - {\rho _0} \cdot \frac{1}{{1 + \gamma  \cdot \Delta \vartheta }} = {\rho _0} \cdot \left( {1 - \frac{1}{{1 + \gamma  \cdot \Delta \vartheta }}} \right)\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[\Delta \rho  = 0,79\frac{{\rm{g}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}}} \cdot \left( {1 - \frac{1}{{1 + 1,1 \cdot {{10}^{ - 3}}\frac{1}{{^\circ {\rm{C}}}} \cdot 1^\circ {\rm{C}}}}} \right) = 8,7 \cdot {10^{ - 4}}\frac{{\rm{g}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}}}\]Für die Massenänderung gilt dann\[\Delta \rho  = \frac{{\Delta m}}{{{V_{\rm{K}}}}} \Leftrightarrow \Delta m = \Delta \rho  \cdot {V_{\rm{K}}} \Rightarrow \Delta m = 8,7 \cdot {10^{ - 4}}\frac{{\rm{g}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}}} \cdot 10{\rm{c}}{{\rm{m}}^3} = 8,7 \cdot {10^{ - 3}}{\rm{g}} \approx 9{\rm{mg}}\]Damit müssen die Kugeln mit den Marken \(22^\circ {\rm{C}}\) und \(24^\circ {\rm{C}}\) (Temperaturunterschied \(2^\circ {\rm{C}}\)) einen Massenunterschied von \(2 \cdot 9{\rm{mg}} = 18{\rm{mg}}\) haben.