Relativitätstheorie

Spezielle Relativitätstheorie

Längenkontraktion

  • Warum vergrößert sich die Masse bewegter Körper?
  • Was versteht man unter der Ruheenergie eines Körpers?
  • Wie kommt Einstein zu seiner berühmten Formel E=mc2?

Längenkontraktion

In der Musteraufgabe "Fahrt zu α-Centauri" dauert die gleichförmige Fahrt für den auf der Erde sitzenden Beobachter Δt = 5,4 Jahre, für den mitfliegenden Astronauten jedoch nur Δt' = 3,2 Jahre. Beide (Erdbewohner und Astronaut) gehen von der gleichen Relativgeschwindigkeit v = 0,8·c aus.

Der Erdbewohner schreibt: \[v = \frac{\Delta x}{\Delta t}    (1)\] Setzt man (1) und (2) gleich, so erhält man:
\[\frac{\Delta x'}{\Delta t'} = \frac{\Delta x}{\Delta t}  \Rightarrow    \Delta x' = \Delta x \cdot \frac{\Delta t'}{\Delta t}\]
mit der Formel für die Zeitdilatation folgt:
\[\Delta x' = \Delta x \cdot \frac{\Delta t \cdot \sqrt{1 - \left(\frac{v}{c}\right)^2}}{\Delta t}    \Rightarrow    \Delta x' = \Delta x \cdot \sqrt{1 - \left(\frac{v}{c}\right)^2}\]
Der Astronaut schreibt: \[v = \frac{\Delta x'}{\Delta t'}    (2)\]

Der Astronaut muss also für die Entfernung Erde - Alpha-Centauri von einer kürzeren Strecke ausgehen. Man spricht von der Längenkontraktion.

Die Längenkontraktion

Bewegt sich ein Beobachter an einer Strecke der Länge Δx mit der Geschwindigkeit v vorbei, so ist die Strecke für ihn auf den Wert Δx' verkürzt (Längenkontraktion):
\[\Delta x' = \Delta x \cdot \sqrt{1 - \left(\frac{v}{c}\right)^2}\]

Hinweis: Die Längenkontraktion findet nur in Bewegungsrichtung statt. Strecken senkrecht zur Bewegungsrichtung behalten ihre Länge auch für den bewegten Beobachter bei.

Die Verhältnisse für den Flug von der Erde zu Alpha-Centauri sind in den folgenden Bildern illustriert:

laengenkontraktion spezielle relativitätstheorie
Abb: 1 Das obere Bild zeigt, wie ein Erdbewohner beobachtet: Er stellt für die Entfernung der Himmelskörper die Strecke Δx fest und misst als Zeitspanne zwischen den Ereignissen "Start" und "Ankunft" die Zeit Δt (Ablesung an räumlich verschiedenen Uhren). Die Rakete würde der Erdbewohner verkürzt wahrnehmen. Das untere Bild zeigt, wie ein mitfliegender Astronaut beobachtet: Er stellt für die Entfernung der Himmelskörper die Strecke Δx' < Δx fest und misst als Zeitspanne zwischen den Ereignissen "Start" und "Ankunft" die Zeit Δt' < Δt (Ablesung an einer Uhr). Die Erde sieht der Astronaut in Bewegungsrichtung geschrumpft.

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