a)Mit welcher Geschwindigkeit \(v\) müssen sich zwei Inertialsystem S und S' gegeneinander bewegen, damit ein im S-System ruhender "Maßstab" von der Länge \(450\,\rm{m}\) vom S'-System aus beurteilt die Länge \(360\,\rm{m}\) besitzt?
b)Wie lange dauert das Vorüberziehen des Maßstabs, vom S'-System aus beurteilt?
c)Ein Ende des Maßstabs befinde sich im Ursprung des A-Systems, das andere bei \(x = 450\,\rm{m}\).
Skizzieren Sie in geeignetem Maßstab das (t'; x')-Diagramm mit den Weltlinien der beiden Enden des Maßstabs. Für die Lösung dieser Teilaufgabe ist das Studium der Minkowski-Diagramme ratsam.
a)\(l\): Länge des Maßstabs im S-System; \(l\;'\): Länge des Maßstabs im S'-System;
Auflösen der Beziehung über die Längenkontraktion nach \(v\)\[l\;' = l \cdot \sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{{l\;'}}{l}} \right)^2} = 1 - {\left( {\frac{v}{c}} \right)^2} \Leftrightarrow {\left( {\frac{v}{c}} \right)^2} = 1 - {\left( {\frac{{l\;'}}{l}} \right)^2} \Leftrightarrow v = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{l\;'}}{l}} \right)}^2}} \cdot c\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[\Rightarrow v = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{360\,{\rm{m}}}}{{450\,{\rm{m}}}}} \right)}^2}} \cdot c = \frac{3}{5} \cdot c = 0{,}60 \cdot c\]
Abb. 1
Maßstab in einem zu einem ruhenden Bezugssystem bewegten Bezugssystem
b)
\(\Delta t\;'\) ist die Zeit, welche im S'-System verstreicht, bis der Maßstab an einer Uhr vorbeigezogen ist:\[\Delta t\;' = \frac{{l\;'}}{v} \Rightarrow \Delta t' = \frac{{360\,{\rm{m}}}}{{0{,}60 \cdot 3{,}0 \cdot {{10}^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}} = 2{,}0\,{\rm{\mu s}}\]
c)
Im S'-System wird die Länge des Maßstabs zu \({l\;' = 360\,{\rm{m}}}\) festgestellt. Dies ist ein Länge von \(\frac{{360}}{{3{,}0 \cdot {{10}^8}}}{\rm{Ls}} = 1{,}2\,\,{\rm{L\mu s}}\).
Abb. 2
Die Geschwindigkeit des Maßstabs im S'-System ist \(0{,}60 \cdot c\).
