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Aufgabe

Synchrotron relativistisch (Abitur BY 2001 GK A1-2)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

In einem Synchrotron bewegen sich Protonen auf einer kreisförmigen Bahn mit dem Radius \(r = 100\,\rm{m}\) in einer evakuierten Röhre. Das Magnetfeld von Elektromagneten hält die Protonen auf der Bahn. Vereinfachend soll hier angenommen werden, dass das Magnetfeld über dem gesamten Bereich homogen ist. Die Einschussgeschwindigkeit wird als vernachlässigbar angesehen. Elektrische Felder, die bei jeder Umrundung neu durchlaufen werden, beschleunigen die Protonen, bis sie nahezu Lichtgeschwindigkeit erreichen.

Hinweis: Nebenstehendes Bild war nicht Bestandteil der Abituraufgabe.

a)Erläutere, wie man grundsätzlich erreichen kann, dass die Protonen trotz zunehmender Geschwindigkeit auf derselben Kreisbahn bleiben. (3 BE)

b)Berechne die Geschwindigkeit \(v_1\) eines Protons, wenn es erstmals die Beschleunigungsspannung von \(1{,}0 \cdot 10^5\,\rm{V}\) durchlaufen hat.

Erläutere, warum hier eine relativistische Rechnung nicht notwendig ist. (6 BE)

Nach einigen Umläufen haben die Protonen die Geschwindigkeit v2 = 2,62·108 m/s erreicht.

c)Berechne relativistisch die Gesamtenergie E der Protonen in GeV.

Berechne, um wie viel Prozent sich dabei ihre Masse vergrößert hat. [zur Kontrolle: E = 1,93 GeV] (7 BE) 

d)Bestimme die Flussdichte, die das Magnetfeld haben muss, damit die Protonen aus Teilaufgabe c) auf der Bahn gehalten werden. (6 BE)

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)\[ \frac{m \cdot v^2}{r} = q \cdot v \cdot B \quad \Rightarrow \quad r = \frac{m \cdot v}{q \cdot B} \]Die obige Beziehung ergibt sich durch das Gleichsetzen von Zentripetalkraft und Lorentzkraft. Wenn die Geschwindigkeit vergrößert wird, so muss man die magnetische Flussdichte erhöhen, wenn man den Radius konstant halten will.

b)Bei der vorgegebenen Spannung darf man noch nichtrelativistisch rechnen:\[ \begin{array}{} \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_1^2 = e \cdot U_1 \quad \Rightarrow \quad v_1 = \sqrt{ \frac{2 \cdot e \cdot U_1}{m} } \\ \\ v_1 = \sqrt{\frac{2 \cdot 1,60 \cdot 10^{-19} \cdot 1,0 \cdot 10^5}{1,67 \cdot 10^{-27}}} \sqrt{\mathrm{\frac{J}{kg}}} = 4,4 \cdot 10^6 \mathrm{\frac{m}{s}} \end{array} \]Diese Geschwindigkeit liegt noch deutlich unter 1/10 der Lichtgeschwindigkeit, also war die nichtrelativistische Berechnung gerechtfertigt.

c)Für die Gesamtenergie gilt\[ \begin{array}{} E = m \cdot c^2 \quad \Rightarrow \quad E = \frac{m_{0,p} \cdot c^2}{\sqrt{ 1 - \left( \frac{v_2}{c} \right)^2}} \quad \Rightarrow \\ \\ E = \frac{ E_{0,p}}{\sqrt{ 1 - \left( \frac{v_2}{c} \right)^2}} \quad \Rightarrow \quad E = \frac{0,938}{\sqrt{ 1 - \left( \frac{2,62}{3,0} \right)^2}} \mathrm{GeV} = 1,93 \mathrm{GeV} \end{array} \]Berechnung der geschwindigkeitsabhängigen Masse:\[ m = \frac{m_{0,p}}{\sqrt{ 1 - \left( \frac{v_2}{c} \right)^2}} \quad \Rightarrow \quad m = \frac{1,67 \cdot 10^{-27}}{ \sqrt{ 1 - \left( \frac{2,62}{3,0} \right)^2 }} \mathrm{kg} = 3,43 \cdot 10^{-27} \mathrm{kg} \]Prozentuale Zunahme:\[ \frac{\Delta m}{m_{0,p}} = \frac{3,43 - 1,67}{1,67} \cdot 100 \% = 105 \% \]

d)Berechnung des Magnetfeldes aus der Gleichheit von Zentripetalkraft und Lorentzkraft:\[\begin{array}{} \frac{m \cdot v_2^2}{r} = q \cdot v_2 \cdot B \quad \Rightarrow \quad B = \frac{m \cdot v_2}{q \cdot r} \\ \\ B = \frac{3,43 \cdot 10^{-27} \cdot 2,62 \cdot 10^8}{1,60 \cdot 10^{-19} \cdot 100} \mathrm{\frac{kg \cdot m}{s \cdot A \cdot s \cdot m}} \\ \\ B = 5,61 \cdot 10^{-2} \mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot A \cdot m^2}} = 5,61 \cdot 10^{-2} \mathrm{\frac{J}{A \cdot m^2}} \\ \\ B = 5,61 \cdot 10^{-2} \mathrm{\frac{V \cdot A \cdot s}{A \cdot m^2}} = 5,61 \cdot 10^{-2} \mathrm{T} \end{array} \]Beachte stets die Einheitenprobe.