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Aufgabe

Relativistische Elektronen im Magnetfeld (Abitur BY 2005 GK A1-3)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Im Punkt P treten Elektronen mit der Geschwindigkeit \(v = 0,98 \cdot c\) in ein begrenztes homogenes Magnetfeld ein. In der Skizze ist die halbkreisförmige Bahn der Elektronen im Magnetfeld dargestellt.

a)Übertrage die nebenstehende Skizze auf ein Blatt.

Ergänze sie durch eine beschriftete schematische Darstellung einer Anordnung zur Erzeugung und Beschleunigung der Elektronen.

Zeichne die Orientierung des Magnetfeldes ein. (4 BE)

b)Berechne die Masse der Elektronen in Vielfachen der Ruhemasse.

Bestimme damit die notwendige Beschleunigungsspannung UB. [zur Kontrolle: m = 5,0·m0] (9 BE)

c)Die Flussdichte B des Magnetfelds beträgt 500 mT.

Berechne den Bahnradius und die Flugdauer von P nach Q. (7 BE)

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)Aufgrund des Glühelektrischen Effekts treten die Elektronen aus der Heizwendel aus und werden zur positiv geladenen Anode hin beschleunigt (evtl. Fokussierungselektroden bleiben unberücksichtigt). Durch ein Loch in der Anode treten sie in ein homogenes Magnetfeld, welches in die Zeichenebene hinein gerichtet ist.

b)Berechnung der geschwindigkeitsabhängigen Masse \(m\):\[m = \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} }} \Rightarrow {\kern 1pt} m = \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - {{0,98}^2}} }} \approx 5,0 \cdot {m_0}\]Berechnung der Beschleunigungsspannung \(U_{\rm{B}}\):\[{{E_{{\rm{kin}}}} = E - {E_0} \Leftrightarrow e \cdot {U_{\rm{B}}} = m \cdot {c^2} - {m_0} \cdot {c^2} = 5 \cdot {m_0} \cdot {c^2} - {m_0} \cdot {c^2} = 4 \cdot {m_0} \cdot {c^2} \Leftrightarrow {U_{\rm{B}}} = \frac{{4 \cdot {m_0} \cdot {c^2}}}{e}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{{U_{\rm{B}}} = \frac{{4 \cdot 0,511{\rm{MeV}}}}{e} = 2,1{\rm{MV}}}\]

c)Zentripetalkraft = Lorentzkraft:\[ m \cdot \frac{v^2}{r} = e \cdot v \cdot B \quad \Rightarrow \quad r = \frac{m \cdot v}{e \cdot B} \quad \Rightarrow \quad r = \frac{5 \cdot m_0 \cdot 0,98 \cdot c}{e \cdot B} \quad \Rightarrow \quad r = \frac{ 5 \cdot 0,98 \cdot 3,0 \cdot 10^8}{1,76 \cdot 10^{11} \cdot 0,500} \mathrm{m} = 0,017 \mathrm{m} \]Zeit für das Durchlaufen des Halbkreises:\[ \Delta t = \frac{\pi \cdot r}{v} \quad \Rightarrow \quad \Delta t = \frac{\pi \cdot 0,0167}{0,98 \cdot 3,0 \cdot 10^8} \mathrm{s} \approx 1,8 \cdot 10^{-10} \mathrm{s} \]