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Aufgabe

Die Lupe

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

a) Berechne die Vergrößerung einer Lupe mit \(f = 50\,\rm{mm}\).

b) Erläutere, warum die Brennweite einer Lupe kleiner als die deutliche Sehweite sein muss.

Joachim Herz Stiftung
Abb. 1 Abbildung eines Zollstocks mit einer Lupe

c) Bei einer Leselupe wurde die nebenstehende Aufnahme gemacht.

Schätze die Vergrößerung der Leselupe "experimentell" ab.

 

Eine Lupe hat die Brennweite \(60\,\rm{mm}\). Mit ihr soll ein \(2{,}0\,\rm{cm}\) hoher Gegenstand so betrachtet werden, dass sein virtuelles Bild im Abstand der deutlichen Sehweite \(25\,\rm{cm}\) von der Linse entfernt ist.

d) Bestimme durch eine Zeichnung mit geeignetem Maßstab die Winkel \({\alpha _0}\) und \({\alpha _{\rm{m}}}\) und somit die Vergrößerung \(V\).

e) Vergleiche den Wert aus Teilaufgabe c) mit dem Wert für die Vergrößerung, den du mit der Formel erhältst.

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a)Für die Vergrößerung einer Lupe gilt die Formel\[V = \frac{s}{f} \Rightarrow V = \frac{{250{\rm{mm}}}}{{50{\rm{mm}}}} = 5\]Die Vergrößerung der Lupe ist also \(5\).

b)Mathematische Argumentation: Wäre \(f\) größer oder gleich \(s\), so wäre die Vergrößerung \(V\) kleiner oder gleich \(1\). Dies bedeutet, dass die Lupe ihren Sinn verlieren würde.

Geometrische Argumentation: Man betrachtet die Zeichnung der Animation auf der "Lupen-Seite" und denkt sich die Lupenbrennweite gleich der deutlichen Sehweite. In diesem Fall ist dann \({\alpha _0}\) und \({\alpha _{\rm{m}}}\) gleich und somit \(V = 1\). Denkt man sich \(f > s\), so wird sogar \({\alpha _{\rm{m}}} < {\alpha _0}\).

Joachim Herz Stiftung
Abb. 2 Abbildung eines Zollstocks mit einer Lupe

c)Man setzt z.B. die Strecken zwischen \(40\,\rm{mm}\) und \(70\,\rm{mm}\) mit und ohne Lupe ins Verhältnis: Somit ergibt sich eine Vergrößerung von: \(V = \frac{{16{,}4}}{{6{,}8}} \approx 2{,}4\)

 

Joachim Herz Stiftung
Abb. 3 Skizze zur Lösung

d)Durch Ausmessen der Winkel erhält man\[V = \frac{{{\alpha _{\rm{m}}}}}{{{\alpha _o}}} \approx \frac{{22{,}5^\circ }}{{4{,}6^\circ }} \approx 4{,}9\]

e) Mit der Formel für die Vergrößerung erhält man\[V = \frac{s}{f} \Rightarrow  V = \frac{{250\,\rm{mm}}}{{60\,\rm{mm}}} = 4{,}2\]Die beiden Werte für die Vergrößerung stimmen annähernd überein.