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Aufgabe

Netzebenenabstand von LiF-Kristallen

Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe

Auf ein \({\rm{LiF}}\)-Kristall fällt RÖNTGEN-Strahlung der Wellenlänge \(72,0{\rm{pm}}\). Unter der Winkelweite \(10,3^\circ \) ist erstmalig BRAGG-Reflexion zu beobachten.

Bestimme den Netzebenenabstand von \({\rm{LiF}}\).

Untersuche, ob unter weiteren Winkelweiten BRAGG-Reflexion zu beobachten ist.

 

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Ausgehend von der BRAGG-Gleichung erhält man durch Umstellen\[\begin{eqnarray}n \cdot \lambda  &=& 2 \cdot d \cdot \sin \left( \vartheta_n  \right)\\2 \cdot d \cdot \sin \left( \vartheta_n  \right) &=& n \cdot \lambda \quad \quad\quad\left| {:\left( {2 \cdot \sin \left( \vartheta_n  \right)} \right)} \right.\\d &=& n \cdot \frac{\lambda }{{2 \cdot \sin \left( \vartheta_n  \right)}}\end{eqnarray}\]Für \(n=1\) erhält man nach Einsetzen der gegebenen Werte\[d = 1 \cdot \frac{{72,0 \cdot {{10}^{ - 12}}{\rm{m}}}}{{2 \cdot \sin \left( {10,3^\circ } \right)}}  = 201{\rm{pm}}\]

Ausgehend von der BRAGG-Gleichung erhält man durch Umstellen\[\begin{eqnarray}n \cdot \lambda  &=& 2 \cdot d \cdot \sin \left( \vartheta_n  \right)\\2 \cdot d \cdot \sin \left( \vartheta_n  \right) &=& n \cdot \lambda \quad \quad \quad \left| {:\left( {2 \cdot d} \right)} \right.\\\sin \left( \vartheta_n  \right) &=& n \cdot \frac{\lambda }{{2 \cdot d}}\end{eqnarray}\]Daraus ergibt sich\[\vartheta_n  = \arcsin \left( {n \cdot \frac{\lambda }{{2 \cdot d}}} \right)\]Für \(n=2\) erhält man nach Einsetzen der gegebenen Werte\[\vartheta_2  = \arcsin \left( {2 \cdot \frac{{72,0 \cdot {{10}^{ - 12}}{\rm{m}}}}{{2 \cdot 201 \cdot {{10}^{ - 12}}{\rm{m}}}}} \right) = 21,0^\circ \]Für \(n=3\) erhält man nach Einsetzen der gegebenen Werte\[\vartheta_3  = \arcsin \left( {3 \cdot \frac{{72,0 \cdot {{10}^{ - 12}}{\rm{m}}}}{{2 \cdot 201 \cdot {{10}^{ - 12}}{\rm{m}}}}} \right) = 32,5^\circ \]Für \(n=4\) erhält man nach Einsetzen der gegebenen Werte\[\vartheta_4  = \arcsin \left( {4 \cdot \frac{{72,0 \cdot {{10}^{ - 12}}{\rm{m}}}}{{2 \cdot 201 \cdot {{10}^{ - 12}}{\rm{m}}}}} \right) = 45,8^\circ \]Für \(n=5\) erhält man nach Einsetzen der gegebenen Werte\[\vartheta_5  = \arcsin \left( {5 \cdot \frac{{72,0 \cdot {{10}^{ - 12}}{\rm{m}}}}{{2 \cdot 201 \cdot {{10}^{ - 12}}{\rm{m}}}}} \right) = 63,6^\circ \]Für \(n=6\) ist das Argument des \(\arcsin\) größer als \(1\), es gibt also keinen weiteren Glanzwinkel.