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Grundwissen

BRAGG-Reflexion

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Elektromagnetische Wellen mit kleinen Wellenlängen wie z.B. RÖNTGEN-Strahlung untersucht man mit Hilfe von Kristallen, die eine regelmäßige Gitterstruktur besitzen
  • Eine elektromagnetische Welle mit einer bestimmten Wellenlänge wird von einem solchen Kristall nur dann reflektiert, wenn sie unter ganz bestimmten Winkeln (Glanzwinkeln) auf das Kristall trifft
  • Zwischen der Wellenlänge \(\lambda\), dem Netzebenenabstand \(d\) des Kristallgitters, den Weiten \(\theta_n \) der Glanzwinkel und der entsprechenden Ordnung \(n\) des Glanzwinkels besteht die sogenannte BRAGG-Gleichung oder BRAGG-Bedingung \(n \cdot \lambda  = 2 \cdot d \cdot \sin \left( \theta  \right)\;;\;n \in \mathbb{N}\)
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Im Jahr 1912 entdeckte der deutsche Physiker Max von LAUE (1879 - 1960) zusammen mit Walter FRIEDRICH (1883 - 1968) und Paul KNIPPING (1883 - 1935), dass RÖNTGEN-Strahlung beim Auftreffen auf Kristalle teilweise reflektiert wird. Für seine Arbeit erhielt von LAUE 1914 den Nobelpreis für Physik. Im gleichen Jahr noch entwickelten der englische Physiker William Lawrence BRAGG (1890 - 1971) und sein Vater William Henry BRAGG (1862 - 1942) eine Formel, die diese spezielle Reflexion beschreibt, die sogenannte BRAGG-Gleichung oder BRAGG-Bedingung. Hierfür erhielten Vater und Sohn BRAGG 1915 den Nobelpreis für Physik.

Die Reflexion von z.B. RÖNTGEN-Strahlung an solchen Kristallen ist dabei ganz anders, als wir es von der Reflexion von Licht an Spiegeln kennen: Strahlen wir Licht beliebiger Wellenlänge unter einem beliebigen Winkel auf einen Spiegel, so werden alle Wellenlängen nach dem bekannten Reflexionsgesetz ("Einfallswinkel gleich Ausfallswinkel") unter dem gleichen Winkel reflektiert. Strahlen wir dagegen RÖNTGEN-Strahlung einer bestimmten Wellenlänge auf ein Kristall, dann wird diese Strahlung überhaupt nur dann reflektiert, wenn sie unter ganz bestimmten Winkeln, den sogenannten Glanzwinkeln, auf das Kristall trifft; ansonsten tritt keine Reflexion auf, die Strahlung wird quasi "verschluckt".

Den Physikern wurde schnell klar, dass die Reflexion durch konstruktive Interferenz und das "Verschlucken" durch destruktive Interferenz zustande kommen muss. Die BRAGG-Gleichung beschreibt, wann es zu konstruktiver Interferenz und damit zur Reflexion an einem Kristall kommt. Sie stellt eine Beziehung zwischen den Glanzwinkeln \(\theta\), bei denen konstruktive Interferenz auftritt, dem Netzebenenabstand \(d\) des Kristalls und der Wellenlänge \(\lambda\) der einfallenden Strahlung her. Man kann die BRAGG-Gleichung zur Bestimmung der Wellenlänge von RÖNTGEN-Strahlung, aber auch zur Untersuchung der Struktur von Kristallen nutzen; solche Untersuchungen bezeichnet man als RÖNTGEN-Spektroskopie.

Im folgenden wollen wir die Herleitung der BRAGG-Gleichung nachvollziehen.

Reflexion an einer einzelnen Netzebene

Abb. 1 Reflexion zweier phasengleicher Wellenzüge einer Wellenfront an einer Netzebene

Für die RÖNTGEN-Spektroskopie eignen sich besonders gut bestimmte Kristalle wie z.B. NaCl oder LiF, die eine Kristallstruktur besitzen, in der die einzelnen Gitteratome in parallel zueinander liegenden Ebenen angeordnet sind. Diese Ebenen bezeichnen wir als Netzebenen. Wir untersuchen zuerst, wie die RÖNTGEN-Strahlung an einer einzelnen Netzebene reflektiert wird.

Die Animation in Abb. 1 zeigt zwei Wellenzüge beliebiger Wellenlänge, die ohne Gangunterschied unter einem beliebigen Einfallswinkel auf die Gitteratome einer einzelnen Netzebene treffen. Die Wellenzüge verlassen die Netzebene unter dem gleich großen Ausfallswinkel ohne Gangunterschied (d.h. konstruktiv interferierend). Unabhängig von der Wellenlänge der einfallenden RÖNTGEN-Strahlung wird diese also an einer einzelnen Netzebene nach dem Reflexionsgesetz ("Einfallswinkel gleich Ausfallswinkel") reflektiert.

Eine ausführliche Erklärung des Reflexionsgesetzes durch das Wellenmodell des Lichts mit einer passenden Animation findest du im Artikel Erklärung der Reflexion durch das Prinzip von HUYGENS.

Hinweis: Der tiefere Grund für das Reflexionsgesetz ist, dass es nur in Richtung des Ausfallswinkels zu konstruktiver Interferenz aller Wellenzüge kommt, in alle anderen Richtungen dagegen durch destruktive Interferenz keine Strahlung reflektiert wird.

Reflexion an zwei benachbarten Netzebenen

Abb. 2 Reflexion zweier phasengleicher Wellenzüge einer Wellenfront an zwei benachbarten Netzebenen

Nun wird die RÖNTGEN-Strahlung an einem Kristall nicht nur an der Oberfläche reflektiert, sondern sie dringt auch in das Kristall ein. Dabei wird sie an den tiefer liegenen Netzebenen ebenfalls reflektiert. Wir untersuchen der Einfachheit halber, wie die RÖNTGEN-Strahlung an zwei benachbarten Netzebenen reflektiert wird.

Die Animation in Abb. 2 zeigt zwei Wellenzüge beliebiger Wellenlänge, die ohne Gangunterschied unter einem beliebigen Einfallswinkel auf die Gitteratome zweier benachbarter Netzebenen treffen. Jeder Wellenzug an sich wird an "seiner" Netzebene nach dem Reflexionsgesetz reflektiert. Der Wellenzug aber, der auf die tiefer liegende Netzebene trifft, hat einen längeren Weg zurückzulegen. Dadurch haben die beiden Wellenzüge nach ihren Reflexionen auf jeden Fall einen Gangunterschied.

Ist dieser Gangunterschied ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge, dann liegt konstruktive Interferenz vor und wir können reflektierte Strahlung voller Intensität beobachten. Ist der Gangunterschied dagegen kein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge, so liegt eine teilweise destruktive Interferenz vor und die Intensität wird abgeschwächt.

Jetzt kommt dieser Effekt für sehr viele Netzebenen zusammen: Ist der Gangunterschied bei allen Netzebenen ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge (und das ist er genau dann, wenn er das an zwei benachbarten Netzebenen ist), dann können wir reflektierte Strahlung voller Intensität beobachten. Ist der Gangunterschied bei allen Netzebenen dagegen kein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge, so interferieren die ganzen Wellenzüge destruktiv miteinander und es ist überhaupt keine reflektierte Strahlung zu beobachten.

Mathematische Herleitung der BRAGG-Gleichung

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Abb. 3 Bestimmung des Gangunterschieds zwischen zwei ausfallenden Wellenzügen bei Reflexion an zwei benachbarten Netzebenen

Der Gangunterschied \(\Delta s\) zwischen zwei gleichphasig einlaufenden Wellenzügen hängt von der Weite \(\theta\) des Einfallswinkels und dem Abstand \(d\) der Netzebenen ab.

Mithilfe von geometrischen Betrachtungen ergibt sich aus Abb. 3 der Gangunterschied zu\[\Delta s=2\cdot d\cdot \sin\left(\theta\right)\]Der Faktor \(2\) ergibt sich in der Formel daraus, dass der zusätzliche Weg sowohl beim Einfallen als auch beim Ausfallen der Welle zurückgelegt werden muss.

Für konstruktive Interferenz muss der Gangunterschied \(\Delta s\) ein Vielfaches der Wellenlänge betragen. Die BRAGG-Bedingung für konstruktive Interferenz ergibt sich somit zu \[n\cdot \lambda=2\cdot d \cdot \sin\left(\theta\right)\] wobei \(n \in \mathbb{N}\) die Ordnung des Interferenzmaximums angibt. In Abb. 3 ist das Wellenbild für \(n=2\) dargestellt. Der Gangunterschied der Wellen beträgt also zwei Wellenlängen und die Wellen sorgen für das Interferenzmaximum 2. Ordnung.

Bragg-Bedingung

Elektromagnetische Wellen mit kleinen Wellenlängen wie z.B. RÖNTGEN-Strahlung untersucht man mit Hilfe von Kristallen, die eine regelmäßige Gitterstruktur besitzen.

Eine elektromagnetische Welle mit einer bestimmten Wellenlänge wird von einem solchen Kristall nur dann reflektiert, wenn sie unter ganz bestimmten Winkeln (Glanzwinkeln) auf das Kristall trifft.

Zwischen der Wellenlänge \(\lambda\), dem Netzebenenabstand \(d\) des Kristallgitters, den Weiten \(\theta_n \) der Glanzwinkel und der entsprechenden Ordnung \(n\) des Glanzwinkels (Ordnung des Maximums) besteht die sogenannte BRAGG-Gleichung oder BRAGG-Bedingung\[n \cdot \lambda  = 2 \cdot d \cdot \sin \left( \theta  \right)\;;\;n \in \mathbb{N}\]

Keine Reflexion im eigentlichen Sinne

Man spricht zwar häufig von "BRAGG-Reflexion", tatsächlich hat diese "Reflexion" nur bedingt etwas mit der Lichtreflexion an einem Spiegel zu tun:

Beim Spiegel tritt Reflexion bei jedem Einfallswinkel auf. Die "BRAGG-Reflexion" ist ausschließlich unter den Glanzwinkeln zu beobachten, da es aufgrund der großen Anzahl von Atomen in einem Kristall für jeden anderen Fall statistisch zu jedem Atom immer ein zweites, das die gebeugte Welle des ersten genau auslöscht. So ist keine Reflexion mehr zu beobachten. Dies ist auch die Situation in nicht-kristallinem Material, unabhängig von der Einstrahlrichtung.