In einem Versuch fällt Licht der Wellenlänge \({\lambda _0} = 633\,{\rm{nm}}\) auf ein Gitter mit \(g = 3{,}0\,{\rm{\mu m}}\), das auf eine planparallele Glasplatte mit der Brechungszahl \(n = 1{,}50\) geritzt ist.
a)
Berechne die Weite \({\alpha _1}\) des Winkels, unter dem das Hauptmaximum erster Ordnung in das Glas auftritt.
b)
Berechne die Weite \({\beta _1}\) des Winkels, unter dem dieses Licht aus dem Glas wieder austritt.
c)
Weise nach, dass das Hauptmaximum 6. Ordnung auf dem beliebig ausgedehnten Schirm nicht mehr beobachtet werden kann.
d)
Untersuche, bis zu welcher Ordnung eine Beobachtung der Hauptmaxima auf dem Schirm möglich ist.
Das Verhältnis der Lichtgeschwindigkeiten \(c_0\) im Vakuum und \(c_{\rm{M}}\) im Medium wird durch den Brechungsindex angegeben:\[n = \frac{c_0}{c_{\rm{M}}}\]Da die Frequenz des Lichtes in beiden Medien die gleiche ist (denken an erzwungene Schwingungen) folgt\[n = \frac{\lambda_0 \cdot f}{\lambda_{\rm{M}} \cdot f} = \frac{\lambda_0}{\lambda_{\rm{M}}} \Leftrightarrow \lambda_{\rm{M}} = \frac{\lambda_0}{n} \quad (1)\]Für das Hauptmaximum 1. Ordnung im Glas gilt nach Gleichung \((2)\) des Grundwissens mit \(k=1\) und damit \(\Delta s = 1 \cdot \lambda_{\rm{M}}\)\[\sin \left( \alpha_1 \right) = \frac{\lambda_{\rm{M}}}{g} \quad (2)\]Einsetzen von \((1)\) in \((2)\) ergibt\[\sin \left( \alpha_1 \right) = \frac{\lambda_0}{g \cdot n}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[\sin \left( \alpha _1 \right) = \frac{633 \cdot 10^{-9}\,\rm{m}}{3{,}0 \cdot 10^{-6}\,\rm{m} \cdot 1{,}50} = 0{,}14 \Rightarrow \alpha _1 = 8{,}1^\circ \]
b)
Wir berechnen die Winkelweite \({{\beta _1}}\) mit Hilfe des Brechungsgesetzes. Es gilt\[\frac{\sin \left( \beta_1 \right)}{\sin \left( \alpha_1 \right)} = n \Leftrightarrow \sin \left( \beta_1 \right) = n \cdot \sin \left( \alpha_1 \right)\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[\sin \left(\beta_1 \right) = 1{,}50 \cdot 0{,}14 = 0{,}21 \Rightarrow \beta_1 = 12^\circ \]
c)
Für das Hauptmaximum 6. Ordnung im Glas gilt nach Gleichung \((2)\) des Grundwissens mit \(k=6\) und damit \(\Delta s = 6 \cdot \lambda_{\rm{M}} = 6 \cdot \frac{\lambda_0}{n}\)\[\sin \left( \alpha_6 \right) = \frac{6 \cdot \lambda_0}{g \cdot n}\]Nach dem Brechungsgesetz gilt für die zugehörige Winkelweite \(\beta_6\)\[\sin \left( \beta_6 \right) = n \cdot \sin \left( \alpha_6 \right)\]Damit ergibt sich\[\sin \left( \beta_6 \right) = n \cdot \frac{6 \cdot \lambda_0}{g \cdot n} = \frac{6 \cdot \lambda_0}{g}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[\sin \left( \beta_6 \right) = \frac{6 \cdot 633 \cdot 10^{-9}\,\rm{m}}{3{,}0 \cdot 10^{-6}\,\rm{m}} = 1{,}3\]Da der Sinus eines Winkels nicht größer als \(1\) sein kann, ist das Hauptmaximum 6. Ordnung nicht beobachtbar.
d)
Analog zur Lösung von Aufgabenteil c) erhält man für beliebiges \(k\)\[\sin \left( \beta_k \right) = \frac{k \cdot \lambda_0}{g}\]Da \(\sin \left( \beta_k \right) \le 1\) sein muss, ergibt sich\[\frac{k \cdot \lambda_0}{g} \le 1 \Leftrightarrow k \le \frac{g}{\lambda_0}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[k \le \frac{3{,}0 \cdot 10^{-6}\,\rm{m}}{633 \cdot 10^{-9}\,\rm{m}} = 4{,}7\]Somit ist die Beobachtung der Hauptmaxima von der nullten bis zur vierten Ordnung möglich.
