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Aufgabe

Licht in Glas (Abitur BW 1992 LK A2)

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

In einem Versuch fällt Licht der Wellenlänge \({\lambda _1} = 633\,{\rm{nm}}\) auf ein Gitter mit \({g^*} = 3{,}0\,{\rm{\mu m}}\), das auf eine planparallele Glasplatte mit der Brechungszahl \(n = 1{,}50\) geritzt ist.

a) Berechnen Sie den Winkel \({\alpha _1}\), unter dem das Maximum erster Ordnung in Glas auftritt.

b) Unter welchem Winkel \({\beta _1}\) tritt dieses Licht aus dem Glas wieder aus?

c) Weisen Sie nach, dass das Maximum 6. Ordnung auf dem beliebig ausgedehnten Schirm nicht mehr beobachtet werden kann.

d) Bis zu welcher Ordnung ist eine Beobachtung der Maxima auf dem Schirm möglich?

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a)

Das Verhältnis der Lichtgeschwindigkeiten im Vakuum c0 und im Medium cm wird durch den Brechungsindex angegeben: \[n = \frac{{{c_0}}}{{{c_m}}}\] Da die Frequenz des Lichtes in beiden Medien die gleiche ist (denken Sie an erzwungene Schwingungen) folgt
\[n = \frac{{{\lambda _0} \cdot f}}{{{\lambda _m} \cdot f}} = \frac{{{\lambda _0}}}{{{\lambda _m}}} \Leftrightarrow {\lambda _m} = \frac{{{\lambda _0}}}{n}\quad(1)\]
Für das Maximum 1. Ordnung im Glas gilt
\[g^* \cdot \sin \left( {{\alpha _1}} \right) = {\lambda _m} \Leftrightarrow \sin \left( {{\alpha _1}} \right) = \frac{{{\lambda _m}}}{{g^*}}\]
Einsetzen der obigen Gleichung (1) ergibt
\[\sin \left( {{\alpha _1}} \right) = \frac{{{\lambda _0}}}{{g^* \cdot n}} \Rightarrow \sin \left( {{\alpha _1}} \right) = \frac{{633 \cdot {{10}^{ - 9}}}}{{3,0 \cdot 1{0^{ - 6}} \cdot 1,50}} \approx 0,14 \Rightarrow {\alpha _1} = 8,1^\circ \]

b) Berechnung des Winkels \({{\beta _1}}\) mit Hilfe des Brechungsgesetzes:
\[\frac{{\sin \left( {{\beta _1}} \right)}}{{\sin \left( {{\alpha _1}} \right)}} = n \Leftrightarrow \sin \left( {{\beta _1}} \right) = n \cdot \sin \left( {{\alpha _1}} \right) \Rightarrow \sin \left( {{\beta _1}} \right) = 1,50 \cdot 0,14 \approx 0,21 \Rightarrow {\beta _1} \approx 12^\circ \]

c) Für die 6. Ordnung gilt:
\[\sin \left( {{{\beta}_6}} \right) = n \cdot \sin \left( {{\alpha _6}} \right) \Rightarrow \sin \left( {{{\beta}_6}} \right) = n \cdot \frac{{6 \cdot {\lambda _0}}}{{g^* \cdot n}} \Rightarrow \sin \left( {{{\beta}_6}} \right) = 1,50 \cdot \frac{{6 \cdot 633 \cdot 1{0^{ - 9}}}}{{3,0 \cdot 1{0^{ - 6}} \cdot 1,50}} \approx 1,3\]
Da der Sinus eines Winkels nicht größer 1 sein kann, ist das Maximum 6. Ordnung nicht beobachtbar.

d) \[\sin \left( {{{\beta}_k}} \right) = n \cdot \sin \left( {{\alpha _k}} \right) \Rightarrow \sin \left( {{{\beta}_k}} \right) = n \cdot \frac{{k \cdot {\lambda _0}}}{{g^* \cdot n}} = \frac{{k \cdot {\lambda _0}}}{{g^*}}\]
Da \(\sin \left( {{{\beta}_k}} \right) \le 1\) sein muss, ergibt sich
\[\frac{{k \cdot {\lambda _0}}}{{g^*}} \le 1 \Leftrightarrow k \le \frac{{g^*}}{{{\lambda _0}}} \Rightarrow k \le \frac{{3,0 \cdot {{10}^{ - 6}}}}{{{{63310}^{ - 9}}}} \approx 4,7\]
Die Beobachtung der Maxima von der nullten bis zur vierten Ordnung ist möglich.