Beugung und Interferenz

Berechnung des Winkels, unter dem das gelbe Maximum erster Ordnung erscheint:\[ \tan \left(\alpha_{\rm{1, gelb}} \right) = \frac{d_{\rm{1, gelb}}}{a}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert (mit zwei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[\tan \left( \alpha_{\rm{1, gelb}} \right) = \frac{5{,}9\,\rm{cm}}{100\,\rm{cm}}=0{,}059 \Rightarrow \alpha_{\rm{1, gelb}} = 3{,}4^\circ \]Bei diesem kleinen Winkel hätte man auch gleich die sogenannte Kleinwinkelnäherung verwenden können, bei welcher der Sinus des Winkels und der Tangens des Winkels gleichgesetzt werden.

Berechnung der Wellenlänge des gelben Lichtes. Wir berechnen zuerst die Gitterkonstante:\[b = \frac{1}{100} \cdot 10^{-3}\,\rm{m} = 1{,}00 \cdot 10^{-5}\,\rm{m}\]Für die Wellenlänge gilt dann\[
b \cdot \sin \left(\alpha_{\rm{1, gelb}}\right) = 1 \cdot \lambda_{\rm{gelb}} \Leftrightarrow \lambda_{\rm{gelb}} = b \cdot \sin \left(\alpha_{\rm{1, gelb}}\right)\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert (mit zwei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[\lambda_{\rm{gelb}} = 1{,}00 \cdot 10^{-5}\,\rm{m} \cdot \sin \left(3{,}4^\circ \right) = 5{,}9 \cdot 10^{-7}\,\rm{m}\]

\[2 \cdot \lambda_{\rm{rot}} = b \cdot \sin \left(\alpha_{\rm{2, rot}}\right) \Rightarrow  \sin \left(\alpha_{\rm{2, rot}}\right) = \frac{2 \cdot \lambda_{\rm{rot}}}{b} \Rightarrow  \alpha_{\rm{2, rot}} = \arcsin{\left( \frac{2 \cdot \lambda_{\rm{rot}}}{b} \right)}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert (mit drei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[ \alpha_{\rm{2, rot}} = \arcsin{\left( \frac{2 \cdot 667{,}8 \cdot 10^{-9}\,\rm{m}}{1{,}00 \cdot 10^{-5}\,\rm{m}} \right)} = 7{,}67^\circ\]

Die analoge Rechnung für das violette Licht liefert \( \alpha_{\rm{2, violett}} = 4{,}62^\circ \).

Berechnung des Abstandes der beiden Linien: \[d_{\rm{2, rot}} = a \cdot \tan \left(\alpha_{\rm{2, rot}}\right) \Rightarrow d_{\rm{2, rot}} = 1{,}0\,\rm{m} \cdot \tan\left(7{,}67^\circ\right) = 0{,}135\,\rm{m} = 135\,\rm{mm}\]\[d_{\rm{2, violett}} = a \cdot \tan\left(\alpha_{\rm{2, violett}}\right) \Rightarrow d_{\rm{2, violett}} = 1{,}0\,\rm{m} \cdot \tan \left(4{,}62^\circ\right) = 0{,}081\,\rm{m} = 81\,\rm{mm} \]Damit ergibt sich\[\Delta d = 135\,\rm{mm} - 81\,\rm{mm} = 54\,\rm{mm}\]