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Aufgabe

Spektralanalyse (Abitur BY 2003 GK A2-3)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Das Spektrum einer Helium-Spektrallampe soll mit Hilfe eines Beugungsgitters (\(100\) Spalte pro \({\rm{mm}}\)) erzeugt werden. Zur Beobachtung des Spektrums befindet sich in \(1{,}0\,{\rm{m}}\) Entfernung ein Schirm.

Hinweis: Ein Gitter ist ein Mehrfachspalt. Beim Gitter werden die Maxima auf genau die gleiche Weise berechnet wie beim Doppelspalt. Der Mittenabstand \(b\) benachbarter Spalte wird auch als Gitterkonstante bezeichnet.

a) Erstellen Sie eine beschriftete Skizze eines geeigneten Versuchsaufbaus.

b) Auf dem Schirm ist in 1. Ordnung unter anderem eine gelbe Linie zu sehen, die vom zentralen Maximum \(5{,}9\,{\rm{cm}}\) entfernt ist. Berechnen Sie die Wellenlänge dieser Linie.

c) Auf dem Schirm treten auf derselben Seite bezüglich des zentralen Maximums die Spektrallinien zweiter Ordnung des roten Lichts (\({\lambda _{rot}} = 667{,}8\,{\rm{nm}}\)) und des violetten Lichts (\({\lambda _{violett}} = 402{,}6\,{\rm{nm}}\)) auf. Berechnen Sie den gegenseitigen Abstand dieser Linien.

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)

b) Berechnung des Winkels, unter dem das gelbe Maximum erster Ordnung erscheint: \[ \tan{\alpha_{1, gelb}} = \frac{d_{1, gelb}}{a} \quad \Rightarrow \quad \tan{\alpha_{1, gelb}} = \frac{5,9}{100} \quad \alpha_{1, gelb} = 3,4^\circ \] Bei diesem kleinen Winkel hätte man auch gleich die sogenannte Kleinwinkelnäherung verwenden könne, bei welcher der Sinus des Winkels und der Tangens des Winkels gleichgesetzt werden.

Berechnung der Wellenlänge des gelben Lichtes: \[ b = \frac{1}{100} \cdot 10^{-3} \rm{m} = 1,00 \cdot 10^{-5} \rm{m} \\\\\\\\
b \cdot \sin{\alpha_{1, gelb}} = 1 \cdot \lambda_{gelb} \quad \Rightarrow \quad \lambda_{gelb} = 1,00 \cdot 10^{-5} \cdot \sin{3,4^\circ} \rm{m} = 5,9 \cdot 10^{-7} \rm{m} \]

c) \[\begin{array}{} b \cdot \sin{\alpha_{2, rot}} \quad \Rightarrow \quad \sin{\alpha_{2, rot}} = \frac{2 \cdot \lambda_{rot}}{b} \quad \Rightarrow \\\\
\alpha_{2, rot} = \arcsin{\left( \frac{2 \cdot \lambda_{rot}}{b} \right)} \quad \Rightarrow \alpha_{2, rot} = \arcsin{\left( \frac{2 \cdot 667,8 \cdot 10^{-9}}{1,00 \cdot 10^{-5}} \right)} = 7,67^\circ \end{array} \]

Die analoge Rechnung für das violette Licht liefert: \( \alpha_{2, blau} = 4,62^\circ \)

Berechnung des Abstandes der beiden Linien: \[ \begin{array}{} d_{2, rot} = a \tan{\alpha_{2, rot}} \quad \Rightarrow d_{2, rot} = 1,0 \cdot \tan{7,67^\circ} \rm{m} = 0,135 \rm{m} = 135 \rm{mm} \\\\
d_{2, blau} = a \cdot \tan{\alpha_{2, blau}} \quad \Rightarrow \quad d_{2, blau} = 1,0 \cdot \tan{4,62^\circ} \rm{m} = 0,081 \rm{m} = 81 \rm{mm} \\\\
\Delta d = 135 \rm{mm} - 81 \rm{mm} = 54 \rm{mm} \end{array} \]