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Aufgabe

Prismen- und Gitterspektrum (Abitur BY 1984 LK A3-1)

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Der Wellenaspekt des Lichts tritt bei Interferenzerscheinungen am Gitter deutlich zutage. Das Licht einer Quecksilberdampflampe wird durch ein Gitter (\(570\) Spalte pro \({\rm{mm}}\)) spektral zerlegt. Der Abstand zwischen Gitter und Schirm beträgt \(e = 3,5{\rm{m}}\). Es wird das sichtbare Spektrum von \({\lambda _1} = 405{\rm{nm}}\) bis \({\lambda _2} = 579{\rm{nm}}\) betrachtet.

a) Zeichnen Sie den optischen Versuchsaufbau für die Herstellung dieses Gitterspektrums, und beschriften Sie die Zeichnung.

b) Wodurch unterscheidet sich dieses Spektrum
- von einem Prismenspektrum (bei gleicher Lampe)
- von einem Gitterspektrum des Lichtes einer Glühlampe?

c) Berechnen Sie für die gelbe Hg-Linie mit \({\lambda _2} = 579{\rm{nm}}\) den Abstand \(d_2\) der beiden Maxima 2.Ordnung.

d) Ab er wie vielten Ordnung liegt das gelbe Maximum mit \({\lambda _2} = 579{\rm{nm}}\) innerhalb des Spektrums der nächsten Ordnung?

e) Im Gitterspektrum des Sonnenlichts findet man dunkle Linien. Wie werden diese genannt? Erklären Sie ihre Entstehung.

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)

b) Gegenüberstellung Prismenspektrum-Gitterspektrum bei einer Halogenlampe:

  • Beim Prisma wird das violette Licht (λ1) am stärksten, das gelbe Licht (λ2) am schwächsten gebrochen.
  • Es kein weißes Licht mehr auf, sondern nur ein Linienspektrum.
  • Beim Gitter tritt in der nullten Ordnung weißes Licht auf.
  • Es treten mehrere Linienspektren auf (verschiedene Ordnungen symmetrisch zur optischen Achse).
  • Bei der Lichtbeugung durch das Gitter wird das gelbe Licht am stärksten, das violette Licht am schwächsten abgelenkt.

Gegenüberstellung der Gitterspektren von Halogenlampe und Glühlampe:

  • Bei der Hg-Lampe ist das Maxium nullter Ordnung weißlich, in allen anderen Ordnungen tritt die gleiche Reihenfolge von einzelnen Spektrallinien auf (Linienspektrum).
  • Bei der Glühlampe ist das Maximum nullter Ordnung rein weiß. In allen anderen Ordnungen tritt ein kontinuierliches Spektrum auf, wobei blau näher an der optischen Achse liegt als rot.

c) Für das Hauptmaximum 2. Ordnung gilt:\[ \sin{\alpha_2} = \frac{2 \cdot \lambda_2}{b} \quad \Rightarrow \quad \sin{\alpha_2} = \frac{2 \cdot 579 \cdot 10^{-9}}{\frac{1}{570} \cdot 10^{-3}} \approx 0,66 \quad \Rightarrow \quad \alpha_2 = 41,3^\circ \] \[ \tan{\alpha_2} = \frac{\frac{d_2}{2}}{e} \quad \Rightarrow \quad d_2 = 2 \cdot e \cdot \tan{\alpha_2} \quad \Rightarrow \quad d_2 = 2 \cdot 3,50 \cdot \tan{41,3^\circ} \rm{m} \approx 6,15 \rm{m} \]

d) Es kommt zu einer Überlappung der Spektren verschiedener Ordnung, wenn die gelbe Linie der niedrigeren Ordnung mindestens so weit von der optischen Achse entfernt ist, wie die violette Linie der nächst höheren Ordnung: \[\begin{array}{} \sin{\alpha_{k, gelb}} \ge \sin{\alpha_{k + 1, violett}} \quad \Rightarrow \quad \frac{k \cdot \lambda_2}{b} \ge \frac{( k + 1 ) \cdot \lambda_1}{b} \qquad k \in \mathbb{N} \\\\
k \cdot ( \lambda_2 - \lambda_1 ) \ge \lambda_1 \quad \Rightarrow \quad k \ge \frac{\lambda_1}{\lambda_2 - \lambda_1} \quad \Rightarrow \quad k \ge 2,32 \end{array} \]

Ab der dritten Ordnung findet eine Überlappung statt, d.h. Teile der 3. Ordnung fallen mit Maxima der 4. Ordnung zusammen.

d) Die Absorptionslinien im Sonnenspektrum heißen nach ihrem Entdecker "Fraunhofer-Linien".
Das von der Sonne ausgesandte "weiße" Licht muss auf dem Weg zur Erde zunächst die Sonnenatmosphäre und dann die Erdatmosphäre durchqueren. Die Gasatome der jeweiligen Atmosphären absorbieren dabei Licht der für sie charakteristischen Frequenzen. Beim Rücksprung der angeregten Gasatome in ein energetisch niedrigeres Niveau wird das Licht nach allen Seiten und nicht nur in die ursprüngliche Richtung ausgesandt. Deshalb fehlen diese Lichtsorten nun im Sonnenspektrum (schwarze Absorptionslinien).