Beugung und Interferenz

Prinzipieller Aufbau des Vielfachspalt- oder Gitterexperiments

Joachim Herz Stiftung

Zur Darstellung des Beugungs- und Interferenzbildes eines Mehrfachspaltes bzw. Gitters benutzt man üblicherweise einen wie in Abb. 1 dargestellten Aufbau. Hat man keinen Laser als kohärente Lichtquelle oder möchte man die Interferenz mit weißem Licht zeigen, so nutzt man eine Anordnung aus Kondensor, falls benötigt einem Farbfilter und einem Spalt, um eine solche zu erzeugen. Zur Erzeugung eines scharfen Bildes, kann auch noch eine Abbildungslinse hinter dem Spalt verwendet werden.

Beobachtung auf dem Schirm

Die folgende Simulation zeigt dir das Bild, das auf einem kreisrunden Schirm entsteht, der um den Vielfachspalt herum verläuft. Das Bild auf dem ebenen Schirm sieht aber ganz ähnlich aus.

Das Bild ist wesentlich breiter als das geometrische Schattenbild der Spalte, da das Licht an den Spalten gebeugt wird. Es sind wenige helle Streifen und dazwischen dunkle Bereiche erkannbar, da das Licht, das von den Spalten ausgeht, interferiert. Wir sprechen deshalb oft auch vom Beugungs- und Interferenzbild hinter dem Vielfachspaltspalt.

Du siehst auf dem Schirm in der Mitte des Bildes einen sehr hellen Streifen. Diesen Streifen, genauer dessen hellste Stelle ganz in der Mitte, bezeichnen wir als das \(0\). Hauptmaximum. Rechts und links symmetrisch um dieses \(0\). Maximum herum siehst du weitere helle Streifen, die nach außen hin etwas lichtschwächer werden. Wir bezeichnen diese Streifen, genauer wieder deren hellste Stellen, von innen nach außen als \(1\)., \(2\)., \(3\)., ... \(k\). Hauptmaximum. Zwischen den einzelnen Maxima befinden sich breite, dunkle Bereiche. Wenn du genauer hinsiehst, findest du in diesen dunklen Bereichen weitere weniger helle Streifen. Wir bezeichnen diese Streifen, genauer wieder deren hellste Stellen, als Nebenmaxima.

In der Simulation kannst du den Abstand \(g\) der einzelnen Spaltmitten, die Breite \(b\) der einzelnen Spalte und die Wellenlänge \(\lambda\) des Lichts, das auf den Vielfachspalt trifft, verändern und dabei die Auswirkungen auf das Bild hinter dem Vielfachspalt beobachten.

Wir konzentrieren uns auf Änderung des Schirmbildes in Abhängigkeit von der Anzahl der Spalte und stellen fest:

• Die Anzahl der Spalte verändert nicht die Lage der Hauptmaxima.
• Die Anzahl der Spalte verändert die Breite der Hauptmaxima: Je größer die Anzahl \(N\) der Spalte, desto schmaler die Hauptmaxima.
• Die Anzahl der Spalte verändert die Helligkeit zwischen den Hauptmaxima: Je größer die Anzahl \(N\) der Spalte, desto dunkler die Bereiche zwischen den Hauptmaxima.
• Die Anzahl der Spalte verändert die Anzahl der Nebenmaxima zwischen den Hauptmaxima: Bei einem Vielfachspalt mit \(N\) Spalten finden wir zwischen zwei Hauptmaxima \(N-2\) Nebenmaxima.

Fazit: Durch die Verwendung vieler Spalte werden die Interferenzmaxima intensiver und schärfer. Auf diese Weise ist eine sehr genaue Bestimmung der Wellenlänge des untersuchten Lichts möglich (vgl. auch nachfolgende Herleitung). Die beim Vielfachspalt auftretenden Nebenmaxima spielen bei genügend hoher Spaltzahl keine Rolle, ihre Intensität ist zu vernachlässigen. Wir sprechen deshalb im folgenden nicht mehr von Vielfachspalten, sondern von sogenannten Gittern. Gebräuchliche Gitter besitzen bis zu \(6000\) Spalte pro \(\rm{cm}\), können also einen Spaltabstand ( man bezeichnet ihn dann als Gitterkonstante \(g\)) von weniger als \(2 \cdot 10^{-6}\,\rm{m}\) haben.

Herleitung von Formeln zur Berechnung von Wellenlängen mit Gittern

Wir leiten jetzt eine Formel her, die uns einen geometrischen Zusammenhang zwischen den Abmessungen des Versuchsaufbaus, dem Schirmbild und der Wellenlänge des einfallenden Lichts liefert.

Bei der Herleitung werden zwei Näherungen gemacht (vgl. Abb. 1):

• Wir vernachlässigen die Breite der Spalte und gehen davon aus, dass das Licht  an den Mittelpunkten der Spalte das Gitter verlässt.
• Wir gehen davon aus, dass der Schirm ist sehr weit vom Gitter entfernt ist und das Licht, dass von den Mittelpunkten der Spalte zum Punkt \(\rm{A}\) fällt, parallel verläuft.

1. Schritt: Betrachtung für einen beliebigen Punkt \(\rm{A}\) auf dem Schirm

Joachim Herz Stiftung

Die entscheidenen Größen findest du in den Abb. 3 und 4. Wir nutzen folgende Bezeichnungen:

\(g\): Abstand der Mittelpunkte zweier Spalte / Gitterkonstante
\(e\): Abstand zwischen Gitter und Schirm
\(a\): Abstand eines Punktes \(\rm{A}\) auf dem Schirm zum Punkt \(\rm{O}\), an dem sich das \(0\). Hauptmaximum befindet
\(\alpha\): Weite des Winkels \(\angle\,{\rm{O;M;A}}\)

Wir betrachten zuerst in Abb. 3 das große Dreieck \(\triangle \rm{M;O;A}\). Dieses Dreieck ist rechtwinklig, die Hypotenuse \(\overline {{\rm{M}}{\rm{A}}} \) hat nach dem Satz des PYTHAGORAS die Länge \(\sqrt{e^2+a^2}\). In diesem rechtwinkligen Dreieck gilt der Sinussatz für rechtwinklige Dreiecke\[\sin \left( \alpha  \right) = \frac{a}{\sqrt{e^2+a^2}} \quad(1)\]

Nobelium, CC BY-SA 3.0, via Wikimedia Commons, geändert von LEIFIphysik

Wir betrachten weiter die Skizze in Abb. 4. Es zeigt die Wege des Lichts von zwei Spalten zum Punkt \(\rm{A}\). Die Strecken \(\overline {{\rm{S_1}}{\rm{A}}} \) und \(\overline {{\rm{S_2}}{\rm{A}}} \) sind nun unterschiedlich lang, ihren Längenunterschied bezeichnen wir mit  \(\Delta s\) und markieren an der richtigen Stelle den Punkt \(\rm{P}\). Dadurch entsteht das kleine Dreieck \(\triangle \rm{S_1;S_2;P}\).

Mit der Näherung, dass die beiden Strecken \(\overline {{\rm{S_1}}{\rm{A}}} \) und \(\overline {{\rm{S_2}}{\rm{A}}} \) parallel verlaufen, ist der Winkel \(\angle\,{\rm{S_1;P;S_2}} \) dann ein rechter Winkel und das Dreieck \(\triangle \rm{S_1;S_2;P}\) ist rechtwinklig. Einfache Überlegungen in den Abb. 3 und 4, die wir uns hier sparen, zeigen, dass die Weite des Winkels \(\angle\,{\rm{S_2;S_1;P}}\) ebenfalls \(\alpha\) beträgt.

Wir betrachten schließlich das kleine rechtwinklige Dreieck \(\triangle \rm{S_1;S_2;P}\). In diesem gilt ebenfalls der Sinussatz für rechtwinklige Dreiecke\[\sin \left( \alpha  \right) = \frac{\Delta s}{g} \quad(2)\]

Setzen wir nun die rechten Seiten der Gleichungen \((1)\) und \((2)\) gleich, so erhalten wir die Gleichung\[\frac{{\Delta s}}{g} = \frac{a}{\sqrt{e^2+a^2}} \quad(3)\]

2. Schritt: Betrachtung für Hauptmaxima auf dem Schirm

Wenn am Punkt \(\rm{A}\) ein \(k.\) Hauptmaximum liegt, bezeichnen wir den Punkt mit \(\rm{A_k}\) und die Streckenlänge \(a\) aus Abb. 3 mit \(a_k\). Die Streckenlänge vom \(0.\) Hauptmaximum zum \(1.\) Hauptmaximum am Punkt \(\rm{A_1}\) wäre dann z.B. \(a_1\) u.s.w.

Ein Hauptmaximum am Punkt \(\rm{A_k}\) entsteht durch konstruktive Interferenz des Lichts, das von allen Spalten ausgeht. Diese konstruktive Interferenz kann nur dann vorliegen, wenn die Streckenlänge \(\Delta s\) ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge \(\lambda\) ist, d.h. für\[\Delta s = k \cdot \lambda \;;\;k \in \left\{ {1\;;\;2\;;\;3\;;\;...} \right\}\]Dann sind auch alle anderen Gangunterschiede zwischen zwei benachbarten Strahlen ein Vielfaches der Wellenlänge und das Licht aus allen Spalten interferiert konstruktiv. Setzen wir dies in Gleichung \((3)\) ein, so erhalten wir\[\frac{{k \cdot \lambda }}{g} = \frac{{{a_k}}}{\sqrt{e^2+{a_k}^2}} \;;\;k \in \left\{ {1\;;\;2\;;\;3\;;\;...} \right\} \quad (4^*)\]Lösen wir diese Gleichung schließlich nach \(\lambda\) auf, so erhalten wir die wichtige Formel \((4)\) zur Bestimmung von Wellenlängen mit Gittern anhand der Hauptmaxima.

Gleichung \((4)\) ermöglicht uns die Bestimmung der Wellenlänge von Licht. Wenn du das Licht auf ein Gitter mit bekannter Gitterkonstante \(g\) wirfst und die Größen \(e\), \(a_k\) und \(k\) misst, kannst du mit Gleichung \((4)\) die Wellenlänge \(\lambda\) des Lichts bestimmen.

Hinweis: In einigen Büchern und Erkärvideos wird statt Gleichung \((4)\) die Gleichung \(\lambda  = \frac{g}{k} \cdot \sin \left( \arctan \left( \frac{a_k}{e} \right) \right)  \;;\;k \in \left\{ {1\;;\;2\;;\;3\;;\;...} \right\} \) hergeleitet. Die beiden Gleichungen sind äquivalent und liefern die gleichen Ergebnisse.

Näherungsformel für Gitter mit großer Gitterkonstante ("weniger gute" Gitter)

Bei Gittern mit großer Gitterkonstante ("weniger gute" Gitter) ist das Schirmbild nur sehr schmal, d.h. die Abstände der \(k\). Hauptmaxima zum \(0\). Hauptmaximum sind sehr viel kleiner als der Abstand \(e\) zwischen Gitter und Schirm. In diesem Fall kann man in Gleichung \((4)\) im Nenner der rechten Seite den Term \(\sqrt{e^2+{a_k}^2}\) wegen \(\sqrt{e^2+{a_k}^2} \approx \sqrt{e^2} = e\) durch die Größe \(e\) ersetzen. Man erhält so eine recht gute Näherungsformel, die auch in vielen Schulbüchern und Formelsammlungen zu finden ist.