Zur Darstellung des Beugungs- und Interferenzbildes eines Vielfachspalts oder Gitters benutzt man üblicherweise den nebenstehenden Aufbau.
Die folgende Simulation zeigt das entstehende Bild.
Vielfachspalt und Gitter
Bezeichnet man mit \(d\) den Spaltabstand und mit \(\lambda\) die Wellenlänge und vernachlässigt die Spaltbreite \(b\), so gilt für die Lichtintensität \(I\) hinter einem Vielfachspalt mit \(N\) Spalten in Abhängigkeit von der Winkelweite \(\alpha\)\[I(\alpha ) = {I_0} \cdot {\left[ {\frac{{\sin \left( {\frac{{N \cdot \pi \cdot d \cdot \sin (\alpha )}}{\lambda }} \right)}}{{\sin \left( {\frac{{\pi \cdot d \cdot \sin (\alpha )}}{\lambda }} \right)}}} \right]^2}\]Dabei ist \({I_0}\) die Intensität des Hauptmaximums (0. Maximum).
Berücksichtigt man dagegen die Spaltbreite \(b\), so gilt für die Lichtintensität \(I\) hinter dem Vielfachspalt in Abhängigkeit von der Winkelweite \(\alpha\)\[I(\alpha ) = {I_0} \cdot \underbrace {{{\left[ {\frac{{\sin \left( {\frac{{N \cdot \pi \cdot d \cdot \sin (\alpha )}}{\lambda }} \right)}}{{\sin \left( {\frac{{\pi \cdot d \cdot \sin (\alpha )}}{\lambda }} \right)}}} \right]}^2}}_{{\rm{Gitterfunktion}}} \cdot \underbrace {{{\left[ {\frac{{\sin \left( {\frac{{\pi \cdot b \cdot \sin (\alpha )}}{\lambda }} \right)}}{{\frac{{\pi \cdot b \cdot \sin (\alpha )}}{\lambda }}}} \right]}^2}}_{{\rm{Einzelspaltfunktion}}}\]
Als Bedingungen für die Winkelweiten \(\alpha_k\), unter denen Hauptmaxima auftreten, erhält man\[{\alpha _k} = 0^\circ \;\;{\rm{oder}}\;\;d \cdot \sin \left( {{\alpha _k}} \right) = k \cdot \lambda \;;\;k \in \left\{ {1\;;\;2\;;\;3\;;\;...} \right\}\]
Zwischen zwei Hauptmaxima liegen \(N-2\) Nebenmaxima und \(N-1\) Minima
Einfluss der Spaltanzahl
Fazit: Durch Verwendung mehrerer Spalte (Gitter) werden die Interferenzmaxima intensiver und schärfer. Auf diese Weise ist eine sehr genaue Bestimmung der Wellenlänge des untersuchten Lichts möglich (vgl. auch nachfolgende Herleitung). Die beim Mehrfachspalt auftretenden Nebenmaxima spielen bei genügend hoher Spaltzahl keine Rolle, ihre Intensität ist zu vernachlässigen.
Berechnung der Wellenlänge
Der Gangunterschied \(\Delta s\) benachbarter Wellenstrahlen, welche zum \(k\)-ten Maximum laufen, ist\[\Delta s = k \cdot \lambda \quad (1)\]Für den Zusammenhang zwischen der Gitterkonstanten \(b\), der Winkelweite \({\alpha _k}\), unter dem das Maximum \(k\)-ter Ordnung erscheint, und dem Gangunterschied \(\Delta s\) gilt nach dem Sinussatz in einem der kleinen rechtwinkligen Dreiecke\[\sin \left( {{\alpha _k}} \right) = \frac{{\Delta s}}{b} \Leftrightarrow \Delta s = b \cdot \sin \left( {{\alpha _k}} \right) \quad(2)\]Hieraus ergib sich durch Gleichsetzen von \((1)\) und \((2)\) für die Wellenlänge\[k \cdot \lambda = b \cdot \sin \left( {{\alpha _k}} \right) \Leftrightarrow \lambda = \frac{{b \cdot \sin \left( {{\alpha _k}} \right)}}{k}\quad(3)\]Da die Winkelweite \({\alpha _k}\) schlecht gemessen werden kann, führt man sie auf entsprechende Längenmessungen zurück: Es gilt nämlich nach dem Satz des PYTHAGORAS und dem Sinusssatz im großen rechtwinkligen Dreieck\[\sin \left( {{\alpha _k}} \right) = \frac{{{d_k}}}{{\sqrt {{a^2} + {d_k}^2} }}\quad(4)\]Setzt man nun \((4)\) in Gleichung \((3)\) ein, so ergibt sich\[\lambda = \frac{{b \cdot \frac{{{d_k}}}{{\sqrt {{a^2} + {d_k}^2} }}}}{k} = \frac{{b \cdot {d_k}}}{{k \cdot \sqrt {{a^2} + {d_k}^2} }}\quad(5)\]Bei guten Gittern und entsprechend hoher Ordnungszahl muss obige Formel \((5)\) zur Wellenlängenberechnung benutzt werden.
Bei nicht allzu guten Gittern und bei niedriger Ordnungszahl kann es sein, das \({\alpha _k}\) nicht größer als ca. \(5^\circ \) ist. In diesem Fall kann man mit der Kleinwinkelnäherung rechnen, die besagt, dass für kleine Winkelweiten der Sinus und der Tangens in etwa gleich sind. Es liefert nämlich der Tangenssatz im großen rechtwinkligen Dreieck\[\tan \left( {{\alpha _k}} \right) = \frac{{{d_k}}}{a}\quad(4')\]und mit \(\sin ({\alpha _k}) \approx \tan ({\alpha _k})\) liefert das Einsetzen von \((4')\) in Gleichung \((3)\) die vereinfachte Formel\[\lambda = \frac{{b \cdot \frac{{{d_k}}}{a}}}{k} = \frac{{b \cdot {d_k}}}{{k \cdot a}}\quad(5')\]Hinweis: Eine weitere Möglichkeit, Gleichung \((5')\) zu erhalten ist die Überlegung, dass für kleine Winkel \(d_k \ll a\) ist und deshalb in Gleichung \((5)\) \({d_k}^2\) unter der Wurzel vernachlässigt werden kann. Damit ergibt sich \(\sqrt {{a^2} + {d_k}^2} \approx \sqrt {a^2} = a\) und damit aus Gleichung \((5)\) Gleichung \((5')\).
| In der klassischen Physik stellt die Wellenlängenmessungen mit dem optischen Gitter die Standardmethode dar. Wesentlich genauere Wellenlängen- und Frequenzmessungen sind mit den Methoden der Quantenoptik möglich. Prof. Hänsch von der Uni München bekam für die sogenannte Frequenzkamm-Methode im Jahre 2005 den Nobelpreis für Physik. |
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