Beugung und Interferenz

Mit \(d=\frac{1}{\frac{5000}{\rm{cm}}}=\frac{1}{\frac{5000}{1\cdot 10^{-2}\,\rm{m}}}=2{,}000\cdot 10^{-6}\,\rm{m}\), \(e=2{,}00\,\rm{m}\), \(k=3\) und \(a_3=\frac{3{,}20\,\rm{m}}{2}=1{,}60\,\rm{m}\) nutzen wir die Formel zur Wellenlängenbestimmung mit "guten" Gittern\[\lambda  = \frac{{d \cdot {a_k}}}{{k \cdot \sqrt {{e^2} + {a_k}^2} }}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[\lambda  = \frac{{2{,}000 \cdot {{10}^{ - 6}}\,{\rm{m}} \cdot 1{,}60\,{\rm{m}}}}{{3 \cdot \sqrt {{{\left( {2{,}00\,{\rm{m}}} \right)}^2} + {{\left( {1{,}60\,{\rm{m}}} \right)}^2}} }} = 4{,}16 \cdot {10^{ - 7}}\,{\rm{m}} = 416 \cdot {10^{ - 9}}\,{\rm{m}} = 416\,{\rm{nm}}\]

Mit \(\lambda = 632{,}8\,\rm{nm} = 632{,}8\cdot 10^{-9}\,\rm{m}\), \(e=1{,}00\,{\rm{m}}\), \(k=3\) und \(a_3=\frac{82{,}2\,{\rm{cm}}}{2}= 41{,}1\,\rm{cm}=41{,}1 \cdot 10^{-2}\,\rm{m}\) erhalten wir mit der Formel zur Wellenlängenbestimmung mit "guten" Gittern\[\lambda  = \frac{{d \cdot {a_k}}}{{k \cdot \sqrt {{e^2} + {a_k}^2} }} \Leftrightarrow d = \frac{{\lambda  \cdot k \cdot \sqrt {{e^2} + {a_k}^2} }}{{{a_k}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[d = \frac{{632{,}8 \cdot {{10}^{ - 9}}\,{\rm{m}} \cdot 3 \cdot \sqrt {{{\left( {1{,}00\,{\rm{m}}} \right)}^2} + {{\left( {41{,}1 \cdot {{10}^{ - 2}}\,{\rm{m}}} \right)}^2}} }}{{41{},1 \cdot {{10}^{ - 2}}\,{\rm{m}}}} = 4{,}99 \cdot {10^{ - 6}}\,{\rm{m}}\]Damit hat das Gitter ungefähr \(2000\) Striche pro \(\rm{cm}\).

Mit \(\lambda = 612\,\rm{nm} = 612\cdot 10^{-9}\,\rm{m}\), \(d = \frac{1}{{\frac{{2000}}{{{\rm{mm}}}}}} = \frac{1}{{2000}}\,{\rm{mm}} = \frac{1}{{2000}} \cdot 10^{ - 3}\,{\rm{m}} = 5{,}00 \cdot {10^{ - 6}}\,{\rm{m}}\), \(e=0{,}940\,\rm{m}\) und \(a_k=\frac{480\,\rm{mm}}{2}= 240\,\rm{mm}=240 \cdot 10^{-3}\,\rm{m}\) erhalten wir mit der Formel zur Wellenlängenbestimmung mit "guten" Gittern\[\lambda  = \frac{{d \cdot {a_k}}}{{k \cdot \sqrt {{e^2} + {a_k}^2} }} \Leftrightarrow k = \frac{{d \cdot {a_k}}}{{\lambda  \cdot \sqrt {{e^2} + {a_k}^2} }}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[k = \frac{{5{,}00 \cdot {{10}^{ - 6}}\,{\rm{m}} \cdot 240 \cdot {{10}^{ - 3}}\,{\rm{m}}}}{{612 \cdot {{10}^{ - 9}}\,{\rm{m}} \cdot \sqrt {{{\left( {0{,}940\,{\rm{m}}} \right)}^2} + {{\left( {240 \cdot {{10}^{ - 3}}\,{\rm{m}}} \right)}^2}} }} \approx 2\]

Mit \(\lambda = 750\,\rm{nm} = 750\cdot 10^{-9}\,\rm{m}\), \(d = \frac{1}{{\frac{{200}}{{{\rm{mm}}}}}} = \frac{1}{{200}}{\rm{mm}} = \frac{1}{{200}} \cdot 10^{ - 3}\,{\rm{m}} = 5{,}00 \cdot {10^{ - 6}}\,{\rm{m}}\), \(k=1\) und \(a_1=24\,\rm{cm}=24 \cdot 10^{-2}\,\rm{m}\) erhalten wir mit der Formel zur Wellenlängenbestimmung mit "guten" Gittern\[\lambda  = \frac{{d \cdot {a_k}}}{{k \cdot \sqrt {{e^2} + {a_k}^2} }} \Leftrightarrow \sqrt {{e^2} + {a_k}^2}  = \frac{{d \cdot {a_k}}}{{k \cdot \lambda }} \Rightarrow {e^2} + {a_k}^2 = \frac{{{d^2} \cdot {a_k}^2}}{{{k^2} \cdot {\lambda ^2}}} \Rightarrow e = \sqrt {\frac{{{d^2} \cdot {a_k}^2}}{{{k^2} \cdot {\lambda ^2}}} - {a_k}^2} \]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[e = \sqrt {\frac{{{{\left( {5{,}00 \cdot {{10}^{ - 6}}\,{\rm{m}}} \right)}^2} \cdot {{\left( {24 \cdot {{10}^{ - 2}}\,{\rm{m}}} \right)}^2}}}{{{1^2} \cdot {{\left( {750 \cdot {{10}^{ - 9}}\,{\rm{m}}} \right)}^2}}} - {{\left( {24 \cdot {{10}^{ - 2}}\,{\rm{m}}} \right)}^2}}  = 1{,}58\,{\rm{m}}\]

Mit \(\lambda = 400\,\rm{nm} = 400\cdot 10^{-9}\,\rm{m}\), \(d = 5{,}00 \cdot {10^{ - 6}}\,{\rm{m}}\), \(e=3{,}00\,\rm{m}\) und \(k=1\) erhalten wir mit der Formel zur Wellenlängenbestimmung mit "guten" Gittern\[\begin{eqnarray}\lambda  &=& \frac{{d \cdot {a_k}}}{{k \cdot \sqrt {{e^2} + {a_k}^2} }}\\\sqrt {{e^2} + {a_k}^2}  &=& \frac{{d \cdot {a_k}}}{{k \cdot \lambda }}\\{e^2} + {a_k}^2 &=& \frac{{{d^2} \cdot {a_k}^2}}{{{k^2} \cdot {\lambda ^2}}}\\{e^2} &=& \frac{{{d^2} \cdot {a_k}^2}}{{{k^2} \cdot {\lambda ^2}}} - {a_k}^2 = \left( {\frac{{{d^2}}}{{{k^2} \cdot {\lambda ^2}}} - 1} \right) \cdot {a_k}^2\\\frac{{{e^2}}}{{\frac{{{d^2}}}{{{k^2} \cdot {\lambda ^2}}} - 1}} &=& {a_k}^2\\\frac{e}{{\sqrt {\frac{{{d^2}}}{{{k^2} \cdot {\lambda ^2}}} - 1} }} &=& {a_k}\end{eqnarray}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{a_k} = \frac{{3{,}00\,{\rm{m}}}}{{\sqrt {\frac{{{{\left( {5{,}00 \cdot {{10}^{ - 6}}\,{\rm{m}}} \right)}^2}}}{{{1^2} \cdot {{\left( {400 \cdot {{10}^{ - 9}}\,{\rm{m}}} \right)}^2}}} - 1} }} = 0{,}241\,{\rm{m}} = 24{,}1\,{\rm{cm}}\]