Wir nehmen an, dass drei gleiche Autos mit z.B. \(F_{\rm{G}} = 10000\,\rm{N}\) bergauf fahren und denselben Höhenunterschied von z.B. \(\Delta h = 10\,\rm{m}\) überwinden.
Aufgabe
Die Ebene für das 1. Auto sei \(30^\circ \), die für das 2. Auto \(45^\circ \) und die für das 3. Auto \(60^\circ \) geneigt. Die Wege der Autos bei größerem Neigungswinkel sind kleiner als bei geringerem Neigungswinkel und man kann sie zeichnerisch (oder für Experten: mittels Winkelfunktionen) bestimmen.
Hinweis: In der Praxis kann kein Auto eine solch steile Straße hinauffahren. Wir wählen aber für unsere Aufgabe diese drei Winkel, weil mit ihnen leicht zu rechnen ist.
Bestimme die drei verschiedenen Wege \(\Delta s\) in der Animation in Abb. 1.
Alle drei Autos müssen die Gewichtskraft \({F_{\rm{G}}}\) überwinden, es muss also eine der Gewichtskraft entgegengesetzte gleich große Hubkraft \({F_{\rm{H}}=-F_{\rm{G}}}\) wirken, ein Teil dieser Hubkraft wird durch die Bodendruckkraft \(F_{\rm{B}}\), der andere durch die Zugkraft \({F_{\rm{Z}}}\) aufgebracht. Die Bodendruckkraft bringt keinen Beitrag zur Arbeit, da sie senkrecht auf dem Weg steht. Die Arbeit ist also das Produkt aus dem Wegunterschied \(\Delta s\) und der Zugkraft \({F_{\rm{Z}}}\). Auch die Zugkräfte kann man zeichnerisch (oder mittels Winkelfunktionen) bestimmen.
Bestimme die drei verschiedenen Zugkräfte \({F_{\rm{Z}}}\) für unser Beispiel.
Die Lösungen der Aufgaben zeigen, dass sich für das Produkt aus Kraft und Weg jeweils derselbe Wert von \(W = 100\;000{\rm{Nm}} = 100{\rm{kJ}}\) ergibt. Bei diesem Ansatz wurde für die Arbeit das Produkt aus Weg mal Kraftkomponente der Hubkraft in Wegrichtung verwendet.
Dasselbe Ergebnis erhält man, wenn man für die Arbeit das Produkt aus Kraft mal Wegkomponente des Hubwegs in Kraftrichtung verwendet. Die Hubkraft \({F_{\rm{H}}=-F_{\rm{G}}}\) ist in allen drei Fällen \(10\;000{\rm{N}}\) und die Wegkomponente in Kraftrichtung ist der für alle drei Fälle gleichgroße Höhenunterschied \(\Delta h = 10{\rm{m}}\). Die Arbeit ist also auch hier \(W = 100\;000{\rm{Nm}} = 100{\rm{kJ}}\).
Arbeit an der schiefen Ebene
Merke: Sind Kraft und Weg nicht zueinander parallel, so errechnet man die Arbeit entweder aus
Arbeit = Weg · Kraftkomponente in Wegrichtung oder Arbeit = Kraft · Wegkomponente in Kraftrichtung