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Versuche

Arbeit an der schiefen Ebene

Drei gleiche Autos mit z.B. \({F_{\rm{G}}} = 10000{\rm{N}}\) fahren bergauf und überwinden denselben Höhenunterschied von z.B. \(\Delta h = 10{\rm{m}}\).

Abb. 1 Hochfahren eines Autos auf drei verschieden geneigte schiefe Ebenen
Aufgabe

Die Ebene für das 1. Auto ist \(30^\circ \), die für das 2. Auto \(45^\circ \) und die für das 3. Auto \(60^\circ \) geneigt. Die Wege der Autos bei größerem Neigungswinkel sind kleiner als bei geringerem Neigungswinkel und man kann sie zeichnerisch (oder für Experten: mittels Winkelfunktionen) bestimmen.

Bestimme die drei verschiedenen Wege \(\Delta s\) in der Animation in Abb. 1.

Lösung

Zeichne drei rechtwinklige Dreiecke mit der Kathete \(10{\rm{cm}}\) (also im Maßstab \(1:100\)) und dem Gegenwinkel zur Kathete \(\alpha \) (dann sind die beiden an der Kathete anliegenden Winkel \(90^\circ\) und \(90^\circ - \alpha \)). Man kann das Dreieck nach der WSW-Konstruktion zeichnen. Miss dann die Hypotenuse aus.

Für die Hypotenuse ergibt sich für \(\alpha  = 30^\circ \) der Wert \(20{\rm{cm}}\) und damit nach der Maßstabsrechnung \(\Delta {s_1} = 20{\rm{m}}\); für \(\alpha  = 45^\circ \) der Wert \(14{\rm{cm}}\) und damit \(\Delta {s_2} = 14{\rm{m}}\); für \(\alpha  = 60^\circ \) der Wert \(11,5{\rm{cm}}\) und damit \(\Delta {s_3} = 11,5{\rm{m}}\).

Kennt man die Winkelfunktionen (nur für besonders Fortgeschrittene), so ergibt sich \(\Delta s\) aus der Formel \(\Delta s = \frac{{\Delta h}}{{\sin (\alpha) }}\), was zu obigen Ergebnissen führt.

Alle drei Autos müssen die Gewichtskraft \({F_{\rm{G}}}\) überwinden, es muss also eine der Gewichtskraft entgegengesetzte gleich große Hubkraft \({F_{\rm{H}}=-F_{\rm{G}}}\) wirken, ein Teil dieser Hubkraft wird durch die Bodendruckkraft \(F_{\rm{B}}\), der andere durch die Zugkraft \({F_{\rm{Z}}}\) aufgebracht. Die Bodendruckkraft bringt keinen Beitrag zur Arbeit, da sie senkrecht auf dem Weg steht. Die Arbeit ist also das Produkt aus dem Wegunterschied \(\Delta s\) und der Zugkraft \({F_{\rm{Z}}}\). Auch die Zugkräfte kann man zeichnerisch (oder mittels Winkelfunktionen) bestimmen.

Bestimme die drei verschiedenen Zugkräfte \({F_{\rm{Z}}}\) für unser Beispiel.

Lösung

Zeichne drei rechtwinklige Dreiecke mit der Hypotenuse \(10{\rm{cm}}\) (also im Maßstab \(1{\rm{cm}} \buildrel \wedge \over = 10000{\rm{N}}\)) und dem Winkel \(\alpha \) mit Hilfe des THALES-Kreises. Miss dann die Gegenkathete aus.

Für die Kathete ergibt sich für \(\alpha  = 30^\circ \) der Wert \(5{\rm{cm}}\) und damit nach der Maßstabsrechnung \({F_{{\rm{Z,1}}}} = 5000{\rm{N}}\); für \(\alpha  = 45^\circ \) der Wert \(7{\rm{cm}}\) und damit \({F_{{\rm{Z,2}}}} = 7000{\rm{N}}\); für \(\alpha  = 60^\circ \) der Wert \(8,7{\rm{cm}}\) und damit \({F_{{\rm{Z,3}}}} = 8700{\rm{N}}\).

Kennt man die Winkelfunktionen (nur für besonders Fortgeschrittene), so ergibt sich \(F_{\rm{Z}}\) aus der Formel \({F_{\rm{Z}}} = {F_{\rm{G}}} \cdot \sin \left( \alpha  \right)\), was zu obigen Ergebnissen führt.

Die Lösungen der Aufgaben zeigen, dass sich für das Produkt aus Kraft und Weg jeweils derselbe Wert von \(W = 100\;000{\rm{Nm}} = 100{\rm{kJ}}\) ergibt. Bei diesem Ansatz wurde für die Arbeit das Produkt aus Weg mal Kraftkomponente der Hubkraft in Wegrichtung verwendet.

Dasselbe Ergebnis erhält man, wenn man für die Arbeit das Produkt aus Kraft mal Wegkomponente des Hubwegs in Kraftrichtung verwendet. Die Hubkraft \({F_{\rm{H}}=-F_{\rm{G}}}\) ist in allen drei Fällen \(10\;000{\rm{N}}\) und die Wegkomponente in Kraftrichtung ist der für alle drei Fälle gleichgroße Höhenunterschied \(\Delta h = 10{\rm{m}}\). Die Arbeit ist also auch hier \(W = 100\;000{\rm{Nm}} = 100{\rm{kJ}}\).

Arbeit an der schiefen Ebene

Merke: Sind Kraft und Weg nicht zueinander parallel, so errechnet man die Arbeit entweder aus

Arbeit = Weg · Kraftkomponente in Wegrichtung      oder        Arbeit = Kraft · Wegkomponente in Kraftrichtung