Bewegte Ladungen in Feldern

Je größer die Beschleunigungsspannung, desto kleiner die Ablenkung des Elektronenstrahls, d.h. desto weiter ist die Parabel geöffnet.

Je größer die Kondensatorspannung, desto größer die Ablenkung des Elektronenstrahls, d.h. desto enger ist die Parabel geöffnet.

Der Elektronenstrahl hat allem Anschein nach immer die Form einer Parabel.

Nach dem Eintritt in den Ablenkkondensator wirkt auf die Elektronen in \(x\)-Richtung keine Kraft. Deshalb bewegen sich die Elektronen in \(x\)-Richtung gleichförmig mit der Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\).

Im gegebenen Koordinatensystem befinden sich die Elektronen zum Zeitpunkt \(t=0\,\rm{s}\) an der Koordinate \(x=0\,\rm{m}\). Die Bewegungsgleichung für die Elektronen in \(x\)-Richtung lautet deshalb \(x=v_0 \cdot t \; (1)\).

Nach dem Eintritt in den Ablenkkondensator wirkt auf die Elektronen in \(y\)-Richtung eine konstante elektrische Kraft. Deshalb bewegen sich die Elektronen in \(y\)-Richtung gleichmäßig beschleunigt ohne Anfangsgeschwindigkeit.

Im gegebenen Koordinatensystem befinden sich die Elektronen zum Zeitpunkt \(t=0\,\rm{s}\) an der Koordinate \(y=0\,\rm{m}\). Die Bewegungsgleichung für die Elektronen in \(y\)-Richtung lautet deshalb \(y=\frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 \; (2)\).

Um aus den Gleichungen \((1)\) und \((2)\) die Zeit zu eliminieren lösen wir Gleichung \((1)\) nach \(t\) auf und setzen den Term, den wir für \(t\) erhalten, in Gleichung \((2)\) ein:\[\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {v_0} \cdot t \Leftrightarrow t = \frac{x}{{{v_0}}}}\\{y = \frac{1}{2} \cdot a \cdot {t^2}}\end{array}} \right\} \Rightarrow y = \frac{1}{2} \cdot a \cdot {\left( {\frac{x}{{{v_0}}}} \right)^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{{{v_0}^2}} \cdot {x^2} \quad (3)\]

Auf ihrem Weg von der Kathode zur Anode wird die potenzielle Energie \({E_{{\rm{pot,K}}}} = e \cdot {U_{\rm{B}}}\) der Elektronen an der Kathode in kinetische Energie \({E_{{\rm{kin,A}}}} = \frac{1}{2} \cdot {m_{\rm{e}}} \cdot {v_0}^2\) an der Anode umgewandelt. Mit dem Energieerhaltungssatz ergibt sich deshalb\[{E_{{\rm{pot,K}}}} = {E_{{\rm{kin,A}}}} \Leftrightarrow e \cdot {U_{\rm{B}}} = \frac{1}{2} \cdot {m_{\rm{e}}} \cdot {v_0}^2 \Leftrightarrow {v_0}^2 = \frac{{2 \cdot e \cdot {U_{\rm{B}}}}}{{{m_{\rm{e}}}}} \Rightarrow {v_0} = \sqrt {\frac{{2 \cdot e \cdot {U_{\rm{B}}}}}{{{m_{\rm{e}}}}}} \quad (4)\]Mit \({U_{\rm{B}}} = 2{,}5\,{\rm{kV}} = 2{,}5 \cdot 10^3\,{\rm{V}}\), \(e=1{,}60 \cdot {{10}^{-19}}\,{\rm{A\,s}}\) und \(m_{\rm{e}} = 9{,}1 \cdot {10^{-31}}\,{\rm{kg}}\) erhalten wir\[v_0 = \sqrt {\frac{{2 \cdot 1{,}60 \cdot {{10}^{ - 19}}\,{\rm{A\,s}} \cdot 2500\,{\rm{V}}}}{{9{,}1 \cdot {{10}^{ - 31}}\,{\rm{kg}}}}}  = 3{,}0 \cdot {10^7}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 10\%  \cdot 3{,}0 \cdot {10^8}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 10\%  \cdot c\]

Im Innenraum des Ablenkkondensators herrscht ein homogenes elektrisches Feld. Der Betrag \(E\) der konstanten elektrischen Feldstärke berechnet sich bei einem Plattenabstand \(d\) und einer angelegten Spannung \(U_{\rm{K}}\) durch\[E=\frac{U_{\rm{K}}}{d} \; (5)\]Mit \(d=5{,}4\,\rm{cm} = 5{,}4 \cdot 10^{-2}\,\rm{m}\) und \({U_{\rm{K}}} = 1{,}1\,{\rm{kV}}=1{,}1 \cdot 10^3\,{\rm{V}}\) ergibt sich für den Betrag \(E\) der elektrischen Feldstärke\[E=\frac{1{,}1 \cdot 10^3\,{\rm{V}}}{5{,}4 \cdot 10^{-2}\,\rm{m}} = 2{,}0 \cdot 10^4\,\frac{\rm{V}}{\rm{m}}\]

Das homogene elektrische Feld verursacht auf ein Elektron eine konstante Kraft vom Betrag \(F_{\rm{el}}=E \cdot e\). Einsetzen von Gleichung \((5)\) liefert\[F_{\rm{el}}=\frac{U_{\rm{K}} \cdot e}{d} \; (6)\]Mit \(d=5{,}4\,\rm{cm} = 5{,}4 \cdot 10^{-2}\,\rm{m}\), \({U_{\rm{K}}} = 1{,}1\,{\rm{kV}}=1{,}1 \cdot 10^3\,{\rm{V}}\) und \(e=1{,}60 \cdot 10^{-19}\,\rm{A\,s}\) ergibt sich für den Betrag \(F_{\rm{el}}\) der elektrischen Kraft auf ein Elektron\[F_{\rm{el}}=\frac{1{,}1 \cdot 10^3\,{\rm{V}} \cdot 1{,}60 \cdot 10^{-19}\,\rm{A\,s}}{5{,}4 \cdot 10^{-2}\,\rm{m}} = 3{,}2 \cdot 10^{-15}\,\rm{N}\]

Ein Elektron erfährt eine Gewichtskraft vom Betrag\[F_{\rm{G}}=m_{\rm{e}} \cdot g\]Mit \(m_{\rm{e}}=9{,}1 \cdot {10^{-31}}\,{\rm{kg}}\) und \(g=9{,}81\,\frac{\rm{N}}{\rm{kg}}\) ergibt sich für den Betrag \(F_{\rm{G}}\) der Gewichtskraft\[{F_{\rm{G}}} = 9{,}1 \cdot {10^{-31}}\,{\rm{kg}} \cdot 9{,}81\,\frac{\rm{N}}{\rm{kg}} = 8{,}9 \cdot {10^{-30}}\,{\rm{N}}\]Die elektrische Kraft ist also rund \(10^{15}\) mal so groß wie die Gewichtskraft, die somit vernachlässigt werden kann.

Die konstante elektrische Kraft bewirkt eine konstante Beschleunigung des Elektrons vom Betrag \(a=\frac{F_{\rm{el}}}{m_{\rm{e}}}\). Einsetzen von Gleichung \((6)\) liefert \[a=\frac{U_{\rm{K}} \cdot e}{m_{\rm{e}} \cdot d} \; (7)\]

Mit \(d=5{,}4\,\rm{cm} = 5{,}4 \cdot 10^{-2}\,\rm{m}\), \({U_{\rm{K}}} = 1{,}1\,{\rm{kV}}=1{,}1 \cdot 10^3\,{\rm{V}}\), \(e=1{,}60 \cdot 10^{-19}\,\rm{A\,s}\) und \(m_{\rm{e}}=9{,}1 \cdot 10^{-31}\,\rm{kg}\) ergibt sich für den Betrag \(a\) der Beschleunigung eines Elektrons\[a=\frac{1{,}1 \cdot 10^3\,{\rm{V}} \cdot 1{,}60 \cdot 10^{-19}\,\rm{A\,s}}{5{,}4 \cdot 10^{-2}\,\rm{m} \cdot 9{,}1 \cdot 10^{-31}\,\rm{kg}} = 3{,}6 \cdot 10^{15}\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}\]

Da da auf die Elektronen nach dem Eintritt in den Plattenkondensator

• keine Kraft mehr in \(x\)-Richtung wirkt, bewegen sie sich in \(x\)-Richtung gleichförmig mit \(x=v_0 \cdot t \; (1)\)
• eine konstante elektrische Kraft in \(y\)-Richtung wirkt, bewegen sie sich in \(y\)-Richtung gleichmäßig beschleunigt mit \(y=\frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 \; (2)\).

Wenn wir aus den Gleichungen \((1)\) und \((2)\) die Zeit eliminieren und den Term auf der rechten Seite etwas umformen, erhalten wir die Gleichung der Bahnkurve\[y=\frac{1}{2} \cdot \frac{a}{{v_0}^2} \cdot x^2 \quad (3)\]Nun ersetzen wir die nicht messbaren Größen \(v_0\) und \(a\) durch Terme aus messbaren Größen.

• Auf ihrem Weg von der Kathode zur Anode wird die potenzielle Energie \({E_{{\rm{pot,K}}}} = e \cdot {U_{\rm{B}}}\) der Elektronen an der Kathode in kinetische Energie \({E_{{\rm{kin,A}}}} = \frac{1}{2} \cdot {m_e} \cdot {v_0}^2\) an der Anode umgewandelt. Damit ergibt sich\[{E_{{\rm{pot,K}}}} = {E_{{\rm{kin,A}}}} \Leftrightarrow e \cdot {U_{\rm{B}}} = \frac{1}{2} \cdot {m_e} \cdot {v_0}^2 \Leftrightarrow {v_0}^2 = \frac{{2 \cdot e \cdot {U_{\rm{B}}}}}{{{m_e}}} \Rightarrow {v_0} = \sqrt {\frac{{2 \cdot e \cdot {U_{\rm{B}}}}}{{{m_e}}}} \quad (4)\]
• • Im Zwischenraum des Plattenkondensators herrscht ein homogenes elektrisches Feld der Stärke \(E=\frac{U_{\rm{K}}}{d} \; (5)\).
  • Dieses homogene Feld verursacht eine konstante Kraft vom Betrag \(F_{\rm{el}}=E \cdot e\) auf die Elektronen. Einsetzen von Gleichung \((5)\) liefert \(F_{\rm{el}}=\frac{U_{\rm{K}} \cdot e}{d} \; (6)\).
  • Diese konstante Kraft bewirkt eine konstante Beschleunigung vom Betrag \(a=\frac{F_{\rm{el}}}{m_{\rm{e}}}\) der Elektronen. Einsetzen von Gleichung \((6)\) liefert \(a=\frac{U_{\rm{K}} \cdot e}{m_{\rm{e}} \cdot d} \; (7)\)

Wenn wir nun \((4)\) und \((7)\) in die Gleichung \((3)\) der Bahnkurve einsetzen und den Term auf der rechten Seite etwas umformen, dann erhalten wir\[y = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{{{v_0}^2}} \cdot {x^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{\frac{{{U_{\rm{K}}} \cdot e}}{{{m_{\rm{e}}} \cdot d}}}}{{{{\sqrt {\frac{{2 \cdot e \cdot {U_{\rm{B}}}}}{{{m_e}}}} }^2}}} \cdot {x^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{\frac{{{U_{\rm{K}}} \cdot e}}{{{m_{\rm{e}}} \cdot d}}}}{{\frac{{2 \cdot e \cdot {U_{\rm{B}}}}}{{{m_e}}}}} \cdot {x^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{{U_{\rm{K}}} \cdot e}}{{{m_{\rm{e}}} \cdot d}} \cdot \frac{{{m_e}}}{{2 \cdot e \cdot {U_{\rm{B}}}}} \cdot {x^2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{{{U_{\rm{K}}}}}{{{U_{\rm{B}}} \cdot d}} \cdot {x^2}\]für die Bahnkurve der Elektronen im Innenraum des Ablenkkondensators.

Setzen wir die gegebenen Größen sowie \(x=10\,{\rm{cm}}\) in Gleichung \((8)\) ein, so erhalten wir\[y = \frac{1}{4} \cdot \frac{{1100\,{\rm{V}}}}{{5{,}4\,{\rm{cm}} \cdot 2500\,{\rm{V}}}} \cdot {\left( {10\,{\rm{cm}}} \right)^2} = 2{,}0\,{\rm{cm}}\]Das berechnete Ergebnis stimmt gut mit dem aus der Simulation ersichtlichen Wert überein.

Da in der Gleichung der Bahnkurve der Elektronen\(y = \frac{1}{4} \cdot \frac{U_{\rm{K}}}{U_{\rm{B}} \cdot d} \cdot {x^2}\), insbesondere in dem Faktor \(\frac{1}{4} \cdot \frac{U_{\rm{K}}}{U_{\rm{B}} \cdot d}\) die Elektronenmasse \(m_{\rm{e}}\) nicht auftritt, beeinflusst diese die Öffnung der Parabel und somit die Ablenkung der Elektronen überhaupt nicht (übrigens genau so wenig wie die Elektronenladung \(e\) die Ablenkung beeinflusst). Somit kann mit diesem Versuch die Elektronenmasse \(m_{\rm{e}}\) nicht bestimmt werden.