Elektrizitätslehre
Bewegte Ladungen in Feldern
Elektronenstrahlablenkröhre
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Elektronenstrahlablenkröhre
Die Demonstration der Beschleunigung und Ablenkung von Elektronen im Elektrischen Feld, der Versuch mit der sogenannten Elektronenstrahlablenkröhre ist einer der zentralen Versuche in der Oberstufe. Wir stellen hier den Aufbau des Realexperimentes vor, bieten eine Simulation an und führen anhand gezielter Aufgabenstellungen durch die Auswertung des Versuches.
Durchführung
Regele zuerst die an der Glühkathode K anliegende Heizspannung \(U_{\rm{H}}\) hoch, bis du deren Leuchten erkennst. Regele anschließend die zwischen Kathode K und Anode A anliegende Beschleunigungsspannung \(U_{\rm{B}}\) hoch, bis du auf dem Fluoreszenzschirm das Auftreffen des Elektronenstrahls in Form eines blauen Leuchtens siehst. Regele schließlich die an den Kondensatorplatten liegende Spannung \(U_{\rm{K}}\) hoch. Beobachte die Abhängigkeit der Querablenkung des Elektronenstrahls von der Beschleunigungs- bzw. Kondensatorspannung.
Beobachtung
Stelle eine Vermutung auf, um welche Art von Bahnkurve es sich bei dem Elektronenstrahl handeln könnte.
Untersuche die Abhängigkeit der Querablenkung des Elektronenstrahls von der Beschleunigungs- bzw. Kondensatorspannung und formuliere deine Beobachtungen in Form von "je ..., desto ..."-Sätzen.
Der Elektronenstrahl hat allem Anschein nach die Form einer Parabel.
Je größer die Beschleunigungsspannung, desto kleiner die Ablenkung des Elektronenstrahls, d.h. desto weiter ist die Parabel geöffnet.
Je größer die Kondensatorspannung, desto größer die Ablenkung des Elektronenstrahls, d.h. desto enger ist die Parabel geöffnet.
Auswertung
Die Idee des Versuches ist es nun
•zuerst durch theoretische Überlegungen einen Term herzuleiten, der den Verlauf des Elektronenstrahls in Abhängigkeit von den im Versuch relevanten Größen beschreibt; dies sind sicherlich die Spannungen \(U_{\rm{B}}\) und \(U_{\rm{K}}\) sowie wahrscheinlich die Masse \(m_e\) sowie die Ladung \(e\) der Elektronen und
•anschließend durch Ausmessen des Elektronenstrahls möglicherweise einen Wert für die Masse \(m_e\) der Elektronen zu gewinnen - die beiden Spannungen können leicht gemessen werden und die Ladung \(e\) ist ja bereits durch den MILLIKAN-Versuch bekannt.
Wie du leicht beobachten kannst treten erst dann Elektronen aus der Elektronenkanone aus, wenn die Beschleunigungsspannung \(U_{\rm{B}}\) anliegt. Sie bringt die Elektronen auf die Geschwindigkeit \(v_{\rm{x,0}}\), mit der sie dann aus der Elektronenkanone aus- und horizontal in den Kondensator eintreten. Gleichzeitig beeinflusst die Beschleunigungsspannung \(U_{\rm{B}}\) auch die Bahn der Elektronen im Innern des Kondensators. Deshalb müssen wir zuerst die Beschleunigung der Elektronen durch die Beschleunigungsspannung \(U_{\rm{B}}\) genauer untersuchen.
Leite mit Hilfe des Energieerhaltungssatzes den Term \({v_{\rm{x,0}}} = \sqrt {\frac{{2 \cdot e \cdot {U_B}}}{{{m_e}}}} \) für die Geschwindigkeit \(v_{\rm{x,0}}\) der Elektronen beim Austritt aus der Elektronenkanone, d.h. nach Durchlaufen der Beschleunigungsspannung \(U_{\rm{B}}\) her.
Berechne – unter der Annahme, die Masse eines Elektrons mit \({m_e} = 9,1 \cdot {10^{ - 31}}{\rm{kg}}\) bereits zu kennen – die Geschwindigkeit der Elektronen beim Austritt aus der Elektronenkanone für \({U_{\rm{B}}} = 2,5{\rm{kV}}\) und gib diese Geschwindigkeit in Prozent der Lichtgeschwindigkeit an.
Auf ihrem Weg von der Kathode zur Anode wird die potenzielle Energie \({E_{{\rm{pot,K}}}} = e \cdot {U_{\rm{B}}}\) der Elektronen an der Kathode in kinetische Energie \({E_{{\rm{kin,A}}}} = \frac{1}{2} \cdot {m_e} \cdot {v_{{\rm{x,0}}}}^2\) umgewandelt. Damit ergibt sich
\[{E_{{\rm{pot,K}}}} = {E_{{\rm{kin,A}}}} \Leftrightarrow e \cdot {U_{\rm{B}}} = \frac{1}{2} \cdot {m_e} \cdot {v_{{\rm{x,0}}}}^2 \Leftrightarrow {v_{{\rm{x,0}}}}^2 = \frac{{2 \cdot e \cdot {U_{\rm{B}}}}}{{{m_e}}} \Rightarrow {v_{{\rm{x,0}}}} = \sqrt {\frac{{2 \cdot e \cdot {U_{\rm{B}}}}}{{{m_e}}}} \]
Mit \(e = 1,602 \cdot {10^{ - 19}}{\rm{As}}\) ergibt Einsetzen der gegebenen Werte
\[{v_{{\rm{x,0}}}} = \sqrt {\frac{{2 \cdot 1,602 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{A}} \cdot {\rm{s}} \cdot 2500{\rm{V}}}}{{9,1 \cdot {{10}^{ - 31}}{\rm{kg}}}}} = 3,0 \cdot {10^7}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 10\% \cdot 3,0 \cdot {10^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 10\% \cdot c\]
Die Ablenkung der Elektronen im Innern des Kondensators geschieht nun durch die elektrische Kraft, die dort vertikal auf die Elektronen wirkt. Deshalb müssen wir weiter die Kräfte auf die Elektronen infolge der Kondensatorspannung \(U_{\rm{K}}\) untersuchen.
Leite z.B. mit Hilfe des Energieerhaltungssatzes (andere Wege sind aber auch möglich) den Term \({F_{{\rm{el}}}} = e \cdot \frac{U_{\rm{K}}}{d}\) für die elektrische Kraft auf ein Elektronen im Innern des Kondensators her. Dabei ist \(d\) der Abstand der beiden Kondensatorplatten. Beachte hierzu, dass im Innern des Kondensators ein homogenes Elektrisches Feld herrscht.
Berechne die elektrische Kraft auf ein Elektron für \({U_{\rm{K}}} = 1,1{\rm{kV}}\) und \(d=5,4\rm{cm}\).
Vergleiche – unter der Annahme, die Masse eines Elektrons mit \({m_e} = 9,1 \cdot {10^{ - 31}}{\rm{kg}}\) bereits zu kennen – die elektrische Kraft mit der Gewichtskraft auf ein Elektron und begründe, warum die Gewichtskraft gegenüber der elektrischen Kraft in diesem Experiment vernachlässigt werden kann.
Die an einem Elektron beim Transport von der positiv zur negativ geladenen Platte des Kondensators verrichtete Arbeit ist wegen des homogenen elektrischen Feldes einfach \({W_{{\rm{el}}}} = {F_{{\rm{el}}}} \cdot d\). Diese verrichtete Arbeit besitzt das Elektron in Form von potenzieller Energie \({E_{{\rm{pot}}}} = e \cdot {U_{\rm{K}}}\) (vgl. dazu die Definition der Spannung). Damit ergibt sich
\[{W_{{\rm{el}}}} = {E_{{\rm{pot}}}} \Leftrightarrow {F_{{\rm{el}}}} \cdot d = e \cdot {U_{\rm{K}}} \Leftrightarrow {F_{{\rm{el}}}} = e \cdot \frac{U_{\rm{K}}}{d}\]
\[{F_{{\rm{el}}}} = 1,6 \cdot {10^{ - 19}}{\rm{A}} \cdot {\rm{s}} \cdot \frac{{1100{\rm{V}}}}{{0,054{\rm{m}}}} = 3,3 \cdot {10^{ - 15}}{\rm{N}}\]
\[{F_{\rm{G}}} = {m_e} \cdot g \Rightarrow {F_{\rm{G}}} = 9,1 \cdot {10^{ - 31}}{\rm{kg}} \cdot 9,81\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} = 8,9 \cdot {10^{ - 30}}{\rm{N}}\]
Die elektrische Kraft ist also rund \(10^{15}\) mal so groß wie die Gewichtskraft, die somit vernachlässigt werden kann.
Betrachten wir unsere bisherigen Ergebnisse, so fallen Parallelen zu einem Versuch aus der Mechanik auf: dem waagerechten (oder horizontalen) Wurf. Wir haben nämlich auch hier ein Objekt, das sich horizontal mit einer vorgegebenen Geschwindigkeit bewegt und dann durch eine konstante vertikale Kraft abgelenkt wird. Analog zu unserem damaligen Vorgehen können wir also nun den Term \(y(x)\) für die Bahnkurve der Elektronen herleiten.
Stelle die Zeit-Orts-Terme \(x(t)\) und \(y(t)\) für die Bewegung eines Elektrons in \(x\)- und in \(y\)-Richtung auf, leite hieraus durch Elimination der Zeit \(t\) den Funktionsterm \(y(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{{F_{el}}}}{{{m_e}}} \cdot \frac{1}{{{v_{\rm{x,0}}}^2}} \cdot {x^2}\) der Bahnkurve her und nenne den Typ dieser Bahnkurve.
Forme durch Einsetzen der Ergebnisse aus den bisherigen Aufgabenteilen in den Funktionsterm \(y(x)\) diesen in die Form \(y(x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{{{U_{\rm{K}}}}}{{{U_{\rm{B}}} \cdot d}} \cdot {x^2}\) um und begründe, warum diese Umformung sinnvoll ist.
Berechne die Ablenkung eines Elektrons auf einer horizontalen Strecke von \(10\rm{cm}\) für die Werte \({U_{\rm{B}}} = 2,5{\rm{kV}}\), \({U_{\rm{K}}} = 1,1{\rm{kV}}\) und \(d=5,4\rm{cm}\) und überprüfe dein Ergebnis mit Hilfe der Simulation.
\[\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{x(t) = {v_{x,0}} \cdot t \Leftrightarrow t = \frac{x}{{{v_{x,0}}}}}\\{y(t) = \frac{1}{2} \cdot a \cdot {t^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{{F_{{\rm{el}}}}}}{{{m_e}}} \cdot {t^2}}\end{array}} \right\} \Rightarrow y(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{{F_{{\rm{el}}}}}}{{{m_e}}} \cdot {\left( {\frac{x}{{{v_{x,0}}}}} \right)^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{{F_{{\rm{el}}}}}}{{{m_e}}} \cdot \frac{1}{{{v_{x,0}}^2}} \cdot {x^2}\]
Es handelt sich bei der Bahnkurve der Elektronen also - wie bereits vermutet - um eine Parabel.
\[y(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{{F_{{\rm{el}}}}}}{{{m_e}}} \cdot \frac{1}{{{v_{x,0}}^2}} \cdot {x^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{e \cdot \frac{{{U_{\rm{K}}}}}{d}}}{{{m_e}}} \cdot \frac{1}{{{{\sqrt {\frac{{2 \cdot e \cdot {U_{\rm{B}}}}}{{{m_e}}}} }^2}}} \cdot {x^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{e \cdot \frac{{{U_{\rm{K}}}}}{d}}}{{{m_e}}} \cdot \frac{1}{{\frac{{2 \cdot e \cdot {U_{\rm{B}}}}}{{{m_e}}}}} \cdot {x^2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{{{U_{\rm{K}}}}}{{d \cdot {U_{\rm{B}}}}} \cdot {x^2}\]
Diese Umformungen sind sinnvoll, weil in dem Term für die Bahnkurve jetzt nur noch messbare Größen auftauchen.
\[y(10{\rm{cm}}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{{1100{\rm{V}}}}{{5,4{\rm{cm}} \cdot 2500{\rm{V}}}} \cdot {\left( {10{\rm{cm}}} \right)^2} = 2,0{\rm{cm}}\]
Das berechnete Ergebnis stimmt gut mit dem aus der Simulation ersichtlichen Wert überein.
Zum Abschluss wollen wir noch einmal zurückblicken und sehen, welches Ziel unser Versuch ursprünglich hatte: wir wollten durch Ausmessen des Elektronenstrahls Informationen über die Masse \(m_e\) der Elektronen gewinnen.
Begründe, warum sich durch Ausmessen des Elektronenstrahls, z.B. die experimentelle Bestimmung der Ablenkung eines Elektrons beim Austritt aus dem Kondensator die Masse \(m_e\) eines Elektrons mit dem gezeigten Versuch nicht bestimmen lässt.
Da in dem Term \(y(x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{{{U_{\rm{K}}}}}{{d \cdot {U_{\rm{B}}}}} \cdot {x^2}\), insbesondere in dem Faktor \(\frac{1}{4} \cdot \frac{{{U_{\rm{K}}}}}{{d \cdot {U_{\rm{B}}}}}\) die Elektronenmasse \(m_e\) nicht auftritt, beeinflusst diese die Öffnung der Parabel und somit die Ablenkung der Elektronen überhaupt nicht (übrigens genau so wenig wie die Ladung \(e\) der Elektronen die Ablenkung beeinflusst). Somit kann mit diesem Versuch die Elektronenmasse \(m_e\) nicht bestimmt werden.
