Elektrizitätslehre

Bewegte Ladungen in Feldern

Fadenstrahlrohr

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  • Warum schützt das Erdmagnetfeld vor kosmischer Strahlung?
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Fadenstrahlrohr

Die Demonstration der Beschleunigung und Ablenkung von Elektronen im Magnetischen Feld, der Versuch mit dem sogenannten Fadenstrahlrohr, ist ein weiterer zentraler Versuch in der Oberstufe. Wir stellen hier den Aufbau des Realexperimentes vor, bieten eine Simulation an und führen anhand gezielter Aufgabenstellungen durch die Auswertung des Versuches.

Aufbau

 

In einem Glasgefäß mit einer Wasserstoffatmosphäre von niedrigem Druck wird ein Elektronenstrahl erzeugt. Einzelne Elektronen des Strahls treffen auf Wasserstoffatome und regen diese zum Leuchten an. Dadurch wird der Elektronenstrahl sichtbar. Vor und hinter dem Glasgefäß befindet sich ein HELMHOLTZ-Spulenpaar (\(N=130\), \(R=15{,}0\,\rm{cm}\)), das bei Einschalten des Spulenstromes ein in die Zeichenebene (Mittelebene der HELMHOLTZ-Spulen) gerichtetes Magnetfeld erzeugt, dass in der gesamten Mittelebene weitestgehend den gleichen Betrag hat.

Durchführung

Regele zuerst die an der Glühkathode K anliegende Heizspannung \(U_{\rm{H}}\) hoch, bis du das Leuchten der Glühwendel erkennst. Regele anschließend die zwischen Kathode K und Anode A anliegende Beschleunigungsspannung \(U_{\rm{B}}\) hoch, bis du den Verlauf des Elektronenstrahls anhand des Leuchtens des Gases in der Röhre erkennen kannst. Regele schließlich den durch die HELMHOLTZ-Spulen fließenden Strom \(I_{\rm{S}}\) hoch. Beobachte die Abhängigkeit der Ablenkung des Elektronenstrahls von der Beschleunigungsspannung bzw. dem Spulenstrom.

Heizspannung
UH
Beschleunigungsspannung
UB
Spulenstrom
IS
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6 Fadenstrahlrohr

Beobachtung

Aufgabe

Stelle eine Vermutung auf, um welche Art von Bahnkurve es sich bei dem Elektronenstrahl handeln könnte.

Untersuche die Abhängigkeit der Ablenkung des Elektronenstrahls von der Beschleunigungsspannung bzw. dem Spulenstrom und formuliere deine Beobachtungen in Form von "je ..., desto ..."-Sätzen.

Lösung

Der Elektronenstrahl hat allem Anschein nach die Form eines Kreises.

Je größer die Beschleunigungsspannung, desto kleiner die Ablenkung des Elektronenstrahls, d.h. desto größer ist der Kreis.

Je größer die Stromstärke, desto größer die Ablenkung des Elektronenstrahls, d.h. desto kleiner ist der Kreis.

Auswertung

Die Idee des Versuches ist es nun

zuerst durch theoretische Überlegungen einen Term herzuleiten, der den Verlauf des Elektronenstrahls in Abhängigkeit von den im Versuch relevanten Größen beschreibt; dies sind sicherlich die Spannung \(U_{\rm{B}}\), die Stromstärke \(I_{\rm{S}}\) sowie wahrscheinlich die Masse \(m_e\) sowie die Ladung \(e\) der Elektronen und

anschließend durch Ausmessen des Elektronenstrahls möglicherweise einen Wert für die Masse \(m_e\) der Elektronen zu gewinnen - die Spannung und die Stromstärke können leicht gemessen werden und die Ladung \(e\) ist ja bereits durch den MILLIKAN-Versuch bekannt.

Wie du leicht beobachten kannst treten erst dann Elektronen aus der Elektronenkanone aus, wenn die Beschleunigungsspannung \(U_{\rm{B}}\) anliegt. Sie bringt die Elektronen auf die Geschwindigkeit \(v_0\), mit der sie dann aus der Elektronenkanone austreten. Gleichzeitig beeinflusst die Beschleunigungsspannung \(U_{\rm{B}}\) auch die weitere Bahn der Elektronen. Deshalb müssen wir zuerst die Beschleunigung der Elektronen durch die Beschleunigungsspannung \(U_{\rm{B}}\) genauer untersuchen.

Aufgabe

Leite mit Hilfe des Energieerhaltungssatzes den Term \(v_0 = \sqrt {\frac{{2 \cdot e \cdot {U_B}}}{{{m_e}}}} \) für die Geschwindigkeit \(v_0\) der Elektronen beim Austritt aus der Elektronenkanone, d.h. nach Durchlaufen der Beschleunigungsspannung \(U_{\rm{B}}\) her.

Berechne – unter der Annahme, die Masse eines Elektrons mit \({m_e} = 9,1 \cdot {10^{ - 31}}{\rm{kg}}\) bereits zu kennen – die Geschwindigkeit der Elektronen beim Austritt aus der Elektronenkanone für \({U_{\rm{B}}} = 200{\rm{V}}\) und gib diese Geschwindigkeit in Prozent der Lichtgeschwindigkeit an.

Lösung

Auf ihrem Weg von der Kathode zur Anode wird die potenzielle Energie \({E_{{\rm{pot,K}}}} = e \cdot {U_{\rm{B}}}\) der Elektronen an der Kathode in kinetische Energie \({E_{{\rm{kin,A}}}} = \frac{1}{2} \cdot {m_e} \cdot {v_0}^2\) umgewandelt. Damit ergibt sich\[{E_{{\rm{pot,K}}}} = {E_{{\rm{kin,A}}}} \Leftrightarrow e \cdot {U_{\rm{B}}} = \frac{1}{2} \cdot {m_e} \cdot {v_0}^2 \Leftrightarrow {v_0}^2 = \frac{{2 \cdot e \cdot {U_{\rm{B}}}}}{{{m_e}}} \Rightarrow {v_0} = \sqrt {\frac{{2 \cdot e \cdot {U_{\rm{B}}}}}{{{m_e}}}} \]

Mit \(e = 1,602 \cdot {10^{ - 19}}{\rm{As}}\) ergibt Einsetzen der gegebenen Werte\[{v_0} = \sqrt {\frac{{2 \cdot 1,602 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{A}} \cdot {\rm{s}} \cdot 200{\rm{V}}}}{{9,1 \cdot {{10}^{ - 31}}{\rm{kg}}}}}  = 8,4 \cdot {10^6}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 2,8\%  \cdot 3,0 \cdot {10^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 2,8\%  \cdot c\]

Die Ablenkung der Elektronen im Innern der Röhre geschieht nun durch die LORENTZ-Kraft, die dort auf die Elektronen wirkt. Wir wollen zuerst argumentieren, warum sich die Elektronen durch die LORENTZ-Kraft auf einer Kreisbahn bewegen.

Aufgabe

Erläutere, warum die LORENTZ-Kraft \({{\vec F}_{\rm{L}}}\) und auch die Bahn der Elektronen stets in der Mittelebene der HELMHOLTZ-Spulen liegen.

Erläutere dann, warum die LORENTZ-Kraft keine Arbeit an den Elektronen verrichtet und deshalb der Betrag \(v_0\) der Geschwindigkeit der Elektronen konstant bleibt.

Erläutere schließlich, dass der Betrag \({F_{\rm{L}}}\) der LORENTZ-Kraft konstant bleibt und sich somit die Elektronen auf einer Kreisbahn bewegen.

Lösung

Bekanntlich ist die Richtung der LORENTZ-Kraft \({{\vec F}_{\rm{L}}}\) stets senkrecht zur Richtung der Geschwindigkeit \({\vec v}\) des geladenen Teilchens und senkrecht zu den Feldlinien des Magnetfeldes \({\vec B}\) (mathematisch kurz \({{\vec F}_{\rm{L}}} = q \cdot \vec v \times \vec B\)). Da in diesem Versuch das Magnetfeld \({\vec B}\) senkrecht zur Mittelebene der HELMHOLTZ-Spulen gerichtet ist, muss die LORENTZ-Kraft \({{\vec F}_{\rm{L}}}\) parallel zu dieser Mittelebene gerichtet sein. Da nun die Elektronen mit der Geschwindigkeit \({\vec v}_0\) ebenfalls parallel zur Mittelebene eingeschossen werden, erfahren sie zu keinem Zeitpunkt eine Kraft, die sie aus dieser Mittelebene herausbewegen könnte, sie bleiben also in dieser Mittelebene.

An einem Körper kann durch eine Kraft nur dann Arbeit verrichtet werden, wenn die Kraft einen Anteil in Bewegungsrichtung des Körpers hat. Die Richtung der LORENTZ-Kraft \({{\vec F}_{\rm{L}}}\) steht aber - wie oben bereits gesagt - stets senkrecht zur Richtung der Geschwindigkeit \({\vec v}\) der geladenen Teilchen; somit verrichtet die LORENTZ-Kraft keine Arbeit an den Elektronen. Damit kann sich aber die kinetische Energie und damit der Betrag \(v_0\) der Geschwindigkeit der Elektronen nicht verändern.

Bekanntlich ist der Betrag \({F_{\rm{L}}}\) der LORENTZ-Kraft stets proportional zu den Beträgen \(v\) und \(B\) von Geschwindigkeit des geladenen Teilchens und Magnetfeld. Da nun im vorliegenden Versuch sowohl der Betrag \(v_0\) der Geschwindigkeit der Elektronen als auch der Betrag  \(B\) des (homogenen!) Magnetfelds in der Mitteleben der HELMHOLTZ-Spulen konstant bleiben, bleibt auch der Betrag \({F_{\rm{L}}}\) der LORENTZ-Kraft konstant. Damit wirkt also auf die Elektronen eine stets in einer Ebene liegende, senkrecht zu deren Bewegungsrichtung wirkende konstante Kraft; wie wir aus der Mechanik wissen, führt dies zu einer gleichförmigen Kreisbewegung der Elektronen.

Wie wir gesehen haben ist der Betrag \({F_{\rm{L}}}\) der LORENTZ-Kraft u.a. proportional zum Betrag \(B\) des Magnetischen Feldes. Obwohl wir die Werte der beiden Beträge im weiteren Verlauf des Versuchs gar nicht mehr explizit benötigen, ist es doch interessant und lehrreich, diese genauer zu untersuchen.

Aufgabe

Der Betrag \(B\) der Magnetischen Feldstärke in der Mittelebene einer HELMHOLTZ-Spule berechnet sich durch \(B = \mu _0 \cdot \frac{8}{{{{\sqrt 5 }^3}}} \cdot \frac{N}{R} \cdot I_{\rm{S}}\). Berechne den Betrag \(B\) der Magnetischen Feldstärke für \(N=130\), \(R=15,0\rm{cm}\) und \({I_{\rm{S}}} = 1,53{\rm{A}}\).

Berechne mit diesem Wert für \(B\) den Betrag \(F_{\rm{L}}\) der LORENTZ-Kraft auf ein Elektron mit der Geschwindigkeit \(v_0 = 8,4 \cdot {10^6}\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\).

Vergleiche – unter der Annahme, die Masse eines Elektrons mit \({m_e} = 9,1 \cdot {10^{ - 31}}{\rm{kg}}\) bereits zu kennen – die LORENTZ-Kraft mit der Gewichtskraft auf ein Elektron und begründe, warum die Gewichtskraft gegenüber der LORENTZ-Kraft in diesem Experiment vernachlässigt werden kann.

Lösung

\[B = {\mu _0} \cdot \frac{8}{{{{\sqrt 5 }^3}}} \cdot \frac{N}{R} \cdot {I_{\rm{S}}} \Rightarrow B = 4\pi  \cdot {10^{ - 7}}\frac{{{\rm{Vs}}}}{{{\rm{Am}}}} \cdot \frac{8}{{{{\sqrt 5 }^3}}} \cdot \frac{{130}}{{0,150{\rm{m}}}} \cdot 1,53{\rm{A}} = 1,2 \cdot {10^{ - 3}}{\rm{T}}\]

\[{F_{\rm{L}}} = e \cdot {v_0} \cdot B \Rightarrow {F_{\rm{L}}} = 1,60 \cdot {10^{ - 19}}{\rm{As}} \cdot 8,4 \cdot {10^6}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot 1,2 \cdot {10^{ - 3}}{\rm{T}} = 1,6 \cdot {10^{ - 15}}{\rm{N}}\]

\[{F_{\rm{G}}} = {m_e} \cdot g \Rightarrow {F_{\rm{G}}} = 9,1 \cdot {10^{ - 31}}{\rm{kg}} \cdot 9,81\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} = 8,9 \cdot {10^{ - 30}}{\rm{N}}\]Die LORENTZ-Kraft ist also rund \(10^{15}\) mal so groß wie die Gewichtskraft, die somit vernachlässigt werden kann.

Wir haben erarbeitet, dass sich die Elektronen im Versuch auf einer Kreisbahn bewegen und dabei die LORENTZ-Kraft als Zentripetalkraft wirkt. Mit dem bis hier gewonnenen Wissen können wir nun der Radius dieser Kreisbahn bestimmen.

Aufgabe

Leite durch den Ansatz, dass die LORENTZ-Kraft als Zentripetalkraft der Kreisbewegung der Elektronen wirkt, den Term \(r = \frac{{{m_e} \cdot {v_0}}}{{e \cdot B}}\) her.

Setze in den Term für \(r\) die Terme für \(v_0\) und \(B\) aus den bisherigen Aufgabenteilen ein, forme dann in die Form \(r = \frac{{\sqrt 2  \cdot }}{{\sqrt {\frac{e}{{{m_e}}}}  \cdot {\mu _0} \cdot \frac{8}{{{{\sqrt 5 }^3}}} \cdot \frac{N}{R}}} \cdot \frac{{\sqrt {{U_{\rm{B}}}} }}{{{I_{\rm{S}}}}}\) um und begründe, warum diese Umformung sinnvoll ist.

Berechne – unter der Annahme, die Masse eines Elektrons mit \({m_e} = 9,1 \cdot {10^{ - 31}}{\rm{kg}}\) bereits zu kennen – den Radius \(r\) des Elektronenstrahls für die Werte \({U_{\rm{B}}} = 200{\rm{V}}\), \({I_{\rm{S}}} = 1,53{\rm{A}}\), \(N=130\) und  \(R=15,0\rm{cm}\) und überprüfe dein Ergebnis mit Hilfe der Simulation.

Lösung

\[{F_{{\rm{ZP}}}} = {F_{\rm{L}}} \Leftrightarrow {m_e} \cdot \frac{{{v_0}^2}}{r} = e \cdot {v_0} \cdot B \Leftrightarrow r = \frac{{{m_e} \cdot {v_0}}}{{e \cdot B}}\]\[r = \frac{{{m_e} \cdot {v_0}}}{{e \cdot B}} = \frac{{{m_e} \cdot \sqrt {\frac{{2 \cdot e \cdot {U_{\rm{B}}}}}{{{m_e}}}} }}{{e \cdot {\mu _0} \cdot \frac{8}{{{{\sqrt 5 }^3}}} \cdot \frac{N}{R} \cdot {I_{\rm{S}}}}} = \frac{{\sqrt {\frac{{2 \cdot {m_e}^2 \cdot e \cdot {U_{\rm{B}}}}}{{{e^2} \cdot {m_e}}}} }}{{{\mu _0} \cdot \frac{8}{{{{\sqrt 5 }^3}}} \cdot \frac{N}{R} \cdot {I_{\rm{S}}}}} = \frac{{\sqrt {\frac{{{m_e}}}{e}}  \cdot \sqrt {2 \cdot {U_{\rm{B}}}} }}{{{\mu _0} \cdot \frac{8}{{{{\sqrt 5 }^3}}} \cdot \frac{N}{R} \cdot {I_{\rm{S}}}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt {\frac{e}{{{m_e}}}}  \cdot {\mu _0} \cdot \frac{8}{{{{\sqrt 5 }^3}}} \cdot \frac{N}{R}}} \cdot \frac{{\sqrt {{U_{\rm{B}}}} }}{{{I_{\rm{S}}}}}\]
Diese Umformungen sind sinnvoll, weil in dem Term für den Bahnradius \(r\) jetzt nur noch messbare Größen und Naturkonstanten aufttreten.\[r = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt {\frac{{1,602 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{As}}}}{{9,10 \cdot {{10}^{ - 31}}{\rm{kg}}}}}  \cdot 4\pi  \cdot {{10}^{ - 7}}\frac{{{\rm{Vs}}}}{{{\rm{Am}}}} \cdot \frac{8}{{{{\sqrt 5 }^3}}} \cdot \frac{{130}}{{0,150{\rm{m}}}}}} \cdot \frac{{\sqrt {200{\rm{V}}} }}{{1,53{\rm{A}}}} = 0,040{\rm{m}} = 4,0{\rm{cm}}\]Das berechnete Ergebnis stimmt gut mit dem aus der Simulation ersichtlichen Wert überein.

Zum Abschluss wollen wir noch einmal zurückblicken und sehen, welches Ziel unser Versuch ursprünglich hatte: wir wollten durch Ausmessen des Elektronenstrahls Informationen über die Masse \(m_e\) der Elektronen gewinnen.

Aufgabe

Forme die Gleichung \(r = \frac{{\sqrt 2  \cdot }}{{\sqrt {\frac{e}{{{m_e}}}}  \cdot {\mu _0} \cdot \frac{8}{{{{\sqrt 5 }^3}}} \cdot \frac{N}{R}}} \cdot \frac{{\sqrt {{U_{\rm{B}}}} }}{{{I_{\rm{S}}}}}\) nach \(\frac{e}{{{m_e}}}\) um.

Berechne mit \({U_{\rm{B}}} = 200{\rm{V}}\), \({I_{\rm{S}}} = 1,53{\rm{A}}\), \(N=130\), \(R=15,0\rm{cm}\) und \(r=4,0\rm{cm}\) die sogenannte spezifische Ladung \(\frac{e}{{{m_e}}}\) des Elektrons.

Berechne schließlich mit \(e = 1,602 \cdot {10^{ - 19}}{\rm{As}}\) die Masse \(m_e\) des Elektrons.

Lösung

\[\begin{eqnarray}r &=& \frac{{\sqrt 2  \cdot }}{{\sqrt {\frac{e}{{{m_e}}}}  \cdot {\mu _0} \cdot \frac{8}{{{{\sqrt 5 }^3}}} \cdot \frac{N}{R}}} \cdot \frac{{\sqrt {{U_{\rm{B}}}} }}{{{I_{\rm{S}}}}}\;| \cdot \sqrt {\frac{e}{{{m_e}}}} |:r\\\sqrt {\frac{e}{{{m_e}}}}  &=& \frac{{\sqrt 2  \cdot }}{{{\mu _0} \cdot \frac{8}{{{{\sqrt 5 }^3}}} \cdot \frac{N}{R}}} \cdot \frac{{\sqrt {{U_{\rm{B}}}} }}{{r \cdot {I_{\rm{S}}}}}|{\rm{quadrieren}}\\\frac{e}{{{m_e}}} &=& \frac{1}{{{\mu _0}^2 \cdot \frac{{32}}{{125}} \cdot \frac{{{N^2}}}{{{R^2}}}}} \cdot \frac{{{U_{\rm{B}}}}}{{{r^2} \cdot {I_{\rm{S}}}^2}}\end{eqnarray}\]\[\frac{e}{{{m_e}}} = \frac{1}{{{{\left( {4\pi  \cdot {{10}^{ - 7}}\frac{{{\rm{Vs}}}}{{{\rm{Am}}}}} \right)}^2} \cdot \frac{{32}}{{125}} \cdot \frac{{{{130}^2}}}{{{{\left( {0,150{\rm{m}}} \right)}^2}}}}} \cdot \frac{{200{\rm{V}}}}{{{{\left( {0,040{\rm{m}}} \right)}^2} \cdot {{\left( {1,53{\rm{A}}} \right)}^2}}} = 1,76 \cdot {10^{11}}\frac{{{\rm{As}}}}{{{\rm{kg}}}}\]\[{m_e} = \frac{e}{{1,76 \cdot {{10}^{11}}\frac{{{\rm{As}}}}{{{\rm{kg}}}}}} = \frac{{1,602 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{As}}}}{{1,76 \cdot {{10}^{11}}\frac{{{\rm{As}}}}{{{\rm{kg}}}}}} = 9,10 \cdot {10^{ - 31}}{\rm{kg}}\]

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