In der Medizin werden bei der Krebstherapie hochenergetische Ionen verwendet. Dazu werden beispielsweise vorbeschleunigte Kohlenstoffionen (\(m_0=1{,}99\cdot 10^{-26}\,\rm{kg}\)) in einem ringförmigen Beschleuniger (Synchrotron) so weit beschleunigt, dass sie die für die jeweilige Therapie erforderliche Energie besitzen. Um das Synchrotron durchlaufen zu können, muss der Ionenstrahl durch Magnete umgelenkt werden.
a)Erkläre unter Zuhilfenahme einer Skizze, warum Ionen in einem homogenen Magnetfeld bei geeigneter Feldrichtung einen Kreisbogen durchlaufen. (4 BE)
Für eine bestimmte Therapie sollen Kohlenstoffionen mit der Geschwindigkeit \(v=0{,}73\cdot c\) eingesetzt werden.
b)Berechne die relativistische Masse \(m\) und die kinetische Energie (in GeV) eines solchen Kohlenstoffions. [zur Kontrolle: \(m=2{,}9\cdot 10^{-26}\,\rm{kg}\)] (5 BE)
Um die angegebene hohe Endgeschwindigkeit zu erreichen, durchlaufen die zunächst noch unvollständig ionisierten Kohlenstoffionen beim Eintritt in das Synchrotron eine so genannte Stripperfolie, in der die restliche Elektronenhülle vollständig abgestreift wird.
c)Die nun vollständig ionisierten Kohlenstoffionen sollen mit \(v=0{,}73\cdot c\) einen Kreisbogen mit dem Radius \(r=4{,}4\,\rm{m}\) durchlaufen.
Berechne die dazu erforderliche magnetische Flussdichte \(B\). (5 BE)
d)Erläutere, warum sich die Verwendung der Stripperfolie günstig in Bezug auf Platzbedarf und Kosten beim Bau des Synchrotrons auswirkt. (4 BE)
Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.
a)Sobald das Ion senkrecht zur Magnetfeldrichtung in das Feld eintritt, wirkt die Lorentzkraft \({F_{\rm{lor}}}\), welche senkrecht zur Bewegungsrichtung und senkrecht zur Feldrichtung ist (Drei-Finger-Regel der rechten Hand).
Dadurch wird das Ion abgelenkt aber nicht beschleunigt, da keine Kraftkomponente in Wegrichtung vorliegt. Auf dem weiteren Weg liegt stets eine Kraft mit konstantem Betrag vor, die immer senkrecht zur Bewegungsrichtung ist. \({F_{\rm{lor}}}\) stellt also die für eine Kreisbewegung notwendige Zentralkraft dar.
c)Die Ladung des vollständig ionisierten Kohlenstoffions (Ordnungszahl von Kohlenstoff ist 6) ist \(q = 6 \cdot e\). Die Lorentzkraft \({F_{\rm{lor}}}\) stellt die für das Durchlaufen der Kreisbahn notwendige Zentripetalkraft \(F_{\rm{ZP}}\) dar:\[\begin{array}{l}{F_{\rm{lor}}} = {F_{\rm{ZP}}} \Rightarrow q \cdot v \cdot B = \frac{{m \cdot {v^2}}}{r} \Leftrightarrow B = \frac{{m \cdot v}}{{r \cdot q}}\quad (1)\\B = \frac{{2{,}9 \cdot {{10}^{ - 26}} \cdot 0{,}73 \cdot 3{,}00 \cdot {{10}^8}}}{{4{,}4 \cdot 6 \cdot 1{,}60 \cdot {{10}^{ - 19}}}}\rm{\frac{{kg \cdot {\frac{m}{s}}}}{{m \cdot A \cdot s}}}\approx 1{,}5\,\rm{\frac{{kg}}{{A \cdot {s^2}}}}\end{array}\]Hinweis zu den Einheiten:\[\begin{array}{l}1\,\rm{J} = 1\,\rm{V} \cdot \rm{A} \cdot \rm{s}\quad \text{und}\quad 1\,\rm{J} = 1\,\rm{\frac{{kg \cdot {m^2}}}{{{s^2}}}} \Rightarrow \quad \\1\,\rm{\frac{{kg \cdot {m^2}}}{{{s^2}}}} = 1\,\rm{V} \cdot \rm{A} \cdot \rm{s} \Rightarrow 1\,\rm{\frac{{kg}}{{A \cdot s}}} = 1\rm{\frac{{V \cdot s}}{{{m^2}}}}\end{array}\]
d)Aus Formel (1) von Teilaufgabe c) kann man erkennen:\[B \sim \frac{1}{q}\quad und\quad r \sim \frac{1}{q}\]bei festgehaltenen anderen Größen in der Formel. Hieraus erkennt man, dass je höher die Ladung \(q\) der Ionen ist, desto kleiner kann die Stärke \(B\) des Magnetfeld sein für das Durchlaufen eines bestimmten Radius.
Aus der zweiten Proportionalität erkennt man: Der Radius der Teilchenbahn und damit die Abmessung der Versuchsanordnung kann umso kleiner sein, je größer die Ladung der Teilchen ist (bei festem Magnetfeld).
