Waagerechter und schräger Wurf

gegeben: \({y_0} = 0\,{\rm{m}}\) ; \({v_{0,1}} = 10\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) ; \({\alpha  = {{45}^\circ }}\)

Die Zeit-Ort-Funktionen des Schrägen Wurfes lauten
\[x(t) = {v_0} \cdot \cos \left( \alpha  \right) \cdot t \quad \rm{und} \quad y(t) =- \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2} + {v_0} \cdot \sin \left( \alpha  \right) \cdot t\]
Bestimmung der Fallzeit \({t_{\rm{F}}}\) durch die Bedingung \(y({t_{\rm{F}}}) = 0{\rm{m}}\):
\[0{\rm{m}} =  - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t_{\rm{F}}}^2 + {v_0} \cdot \sin \left( \alpha  \right) \cdot {t_{\rm{F}}} = {t_{\rm{F}}} \cdot \left( { - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t_{\rm{F}}} + {v_0} \cdot \sin \left( \alpha  \right)} \right)\]
Hieraus folgt
\[{t_{{\rm{F}}{\rm{,1}}}} = 0{\rm{s}}\]
dies ist der Zeitpunkt des Abwurfes, und
\[{t_{{\rm{F}}{\rm{,2}}}} = \frac{{2 \cdot {v_0} \cdot \sin \left( \alpha  \right)}}{g}\]

Bestimmung der Wurfweite \({x_{\rm{W}}}\) nur durch Anlauf ohne Armzug:
\[{x_{\rm{W}}} = {v_0} \cdot \cos \left( \alpha  \right) \cdot {t_{\rm{F}}} = \frac{{2 \cdot {v_0}^2 \cdot \sin \left( \alpha  \right)}}{g} \cdot \cos \left( \alpha  \right)\]
und mit \({2 \cdot \sin \left( \alpha  \right) \cdot \cos \left( \alpha  \right) = \sin \left( {2 \cdot \alpha } \right)}\) ergibt sich
\[{x_{\rm{W}}} = \frac{{{v_0}^2}}{g} \cdot \sin \left( {2 \cdot \alpha } \right) \Rightarrow {x_{\rm{W}}} = \frac{{{{\left( {10\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}}}{{9,81\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}} \cdot \sin \left( {2 \cdot 45^\circ } \right) = 10\,{\rm{m}}\]

Wurfweite bei Standwurf mit kräftigem Armzug:
\[{x_{\rm{W}}} = \frac{{{{\left( {23\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}}}{{9,81\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}} \cdot \sin \left( {2 \cdot 45^\circ } \right) = 54\,{\rm{m}}\]

Wurfweite bei vollem Anlauf und kräftigem Armzug:
\[{x_{\rm{W}}} = \frac{{{{\left( {33\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}}}{{9,81\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}} \cdot \sin \left( {2 \cdot 45^\circ } \right) = 111\,{\rm{m}}\]
Der Speer fliegt also gegenüber dem reinen Standwurf um \(111\,\rm{m} - 54\,\rm{m} = 57\,\rm{m}\) weiter.