Waagerechter und schräger Wurf

Der Zusammenhang zwischen Wurfweite und Ballgeschwindigkeit ist gegeben durch
\[{x_{\rm{W}}} = \frac{{{v_{{\rm{0}}{\rm{,B}}}}^2}}{g} \cdot \sin \left( {2 \cdot \alpha } \right)\]
Dies führt mit \({\alpha  = {{45}^\circ }}\) und damit \(\sin \left( {2 \cdot \alpha } \right) = \sin \left( {2 \cdot {{45}^\circ }} \right) = \sin \left( {{{90}^\circ }} \right) = 1\) zu
\[{v_{{\rm{0}}{\rm{,B}}}} = \sqrt {g \cdot {x_{\rm{W}}}}  \Rightarrow {v_{{\rm{0}}{\rm{,B}}}} = \sqrt {9,81\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 400{\rm{m}}}  = 63\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 227\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\]

Im Laborsystem ruht der Ball und der Schläger hat die Geschwindigkeit \({v_{{\rm{0,S}}}}\).

Im "Schlägersystem" ruht der Schläger und der Ball bewegt sich mit der Geschwindigkeit \({-v_{{\rm{0,S}}}}\) auf den Schläger zu. Beim elastischen Stoß mit dem "sehr schweren" Schläger wird der Ball "reflektiert" und hat im "Schlägersystem" dann die Geschwindigkeit \({+v_{{\rm{0,S}}}}\).

Das "Schlägersystem" bewegt sich gegenüber dem Laborsystem mit der Geschwindigkeit \({+v_{{\rm{0,S}}}}\). Vom Laborsystem aus betrachtet hat also der geschlagene Ball die Geschwindigkeit \({v_{{\rm{0,B}}}} = {v_{{\rm{0,S}}}} + {v_{{\rm{0,S}}}} = 2 \cdot {v_{{\rm{0,S}}}}\).

Daraus folgt, dass die Schlägergeschwindigkeit halb so groß ist wie die Ballgeschwindigkeit \({v_{{\rm{0}}{\rm{,S}}}} = 32\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 115\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\).

Die einfachste Abschätzung besteht darin, dass sich der Schläger mit \({v_{{\rm{0,S}}}}\) ungehindert längs der Strecke \({\Delta {x_{{\rm{max}}}}}\) bewegt:
\[{\Delta {x_{{\rm{max}}}} = {v_{{\rm{0}}{\rm{,S}}}} \cdot \Delta t \Leftrightarrow \Delta t = \frac{{\Delta {x_{{\rm{max}}}}}}{{{v_{{\rm{0}}{\rm{,S}}}}}} \Rightarrow \Delta t = \frac{{5 \cdot {{10}^{ - 3}}{\rm{m}}}}{{32\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}} = 0{,}15\,{\rm{ms}}}\]
Die tatsächliche Kontaktzeit wird länger sein, da der Ball verformt werden muss (Gegenkraft). Es wird die Bewegung verzögert, so dass es länger dauert, bis der Ball die Strecke \({\Delta {x_{{\rm{max}}}}}\) zusammengedrückt wird.

Berechnung der durchschnittlichen Kraft:
\[{t_{\rm{K}}} = \pi  \cdot \Delta t \Rightarrow {t_{\rm{K}}} = 0{,}50\,{\rm{ms}}\]
und damit
\[\bar F \cdot \Delta t = m \cdot \Delta v \Leftrightarrow \bar F = \frac{{m \cdot \Delta v}}{{\Delta t}} \Rightarrow \bar F = \frac{{47 \cdot {{10}^{ - 3}}{\rm{kg}} \cdot 63\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{0,50 \cdot {{10}^{ - 3}}{\rm{s}}}} = 6{,}0 \cdot {10^3}\,{\rm{N}} = 6{,}0\,{\rm{kN}}\]