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Aufgabe

Golfschlag

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Hinweis: Diese Aufgabe stammt aus der Seminararbeit von Frau Prof. Dr. Gruber.

a)Berechne, auf welche Geschwindigkeit \({v_{{\rm{0,B}}}}\) der Ball mit der Masse \(47\,\rm{g}\) durch einen Golfschlag gebracht wird, wenn der Abschlagwinkel \({{{45}^\circ }}\) und die Flugweite \(400\,\rm{m}\) beträgt.

b)Berechne, mit welcher Geschwindigkeit \({v_{{\rm{0,S}}}}\) der Schläger vom Spieler durchgeschwungen wurde.

Hinweis: Gehe davon aus, dass die Masse des geführten Schlägers als sehr groß gegenüber der Masse des Golfballs angenommen werden kann. Betrachte den elastischen Stoß zwischen Ball und Schläger zunächst im Bezugssystem des Schlägers.

c)Schätze die Größenordnung der Kontaktzeit von Ball und Schläger ab, wenn der Ball maximal \({\Delta {x_{{\rm{max}}}} = 5\,{\rm{mm}}}\) deformiert werden kann. Gehe davon aus, dass der Schläger ungehindert in den Ball eindringt. Überlege, ob die tatsächliche Kontaktzeit größer oder kleiner sein wird als die oben berechnete.

d)Berechne, welche durchschnittliche Kraft bei diesem Schlag auf den Ball einwirkt. Verwende für die Berechnung der Kontaktzeit die relativ genaue Formel
\[{t_{\rm{K}}} = \pi  \cdot \frac{{\Delta {x_{{\rm{max}}}}}}{{{v_{{\rm{0,S}}}}}}\]

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a)Der Zusammenhang zwischen Wurfweite und Ballgeschwindigkeit ist gegeben durch
\[{x_{\rm{W}}} = \frac{{{v_{{\rm{0}}{\rm{,B}}}}^2}}{g} \cdot \sin \left( {2 \cdot \alpha } \right)\]
Dies führt mit \({\alpha  = {{45}^\circ }}\) und damit \(\sin \left( {2 \cdot \alpha } \right) = \sin \left( {2 \cdot {{45}^\circ }} \right) = \sin \left( {{{90}^\circ }} \right) = 1\) zu
\[{v_{{\rm{0}}{\rm{,B}}}} = \sqrt {g \cdot {x_{\rm{W}}}}  \Rightarrow {v_{{\rm{0}}{\rm{,B}}}} = \sqrt {9,81\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 400{\rm{m}}}  = 63\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 227\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\]

b)Im Laborsystem ruht der Ball und der Schläger hat die Geschwindigkeit \({v_{{\rm{0,S}}}}\).

Im "Schlägersystem" ruht der Schläger und der Ball bewegt sich mit der Geschwindigkeit \({-v_{{\rm{0,S}}}}\) auf den Schläger zu. Beim elastischen Stoß mit dem "sehr schweren" Schläger wird der Ball "reflektiert" und hat im "Schlägersystem" dann die Geschwindigkeit \({+v_{{\rm{0,S}}}}\).

Das "Schlägersystem" bewegt sich gegenüber dem Laborsystem mit der Geschwindigkeit \({+v_{{\rm{0,S}}}}\). Vom Laborsystem aus betrachtet hat also der geschlagene Ball die Geschwindigkeit \({v_{{\rm{0,B}}}} = {v_{{\rm{0,S}}}} + {v_{{\rm{0,S}}}} = 2 \cdot {v_{{\rm{0,S}}}}\).

Daraus folgt, dass die Schlägergeschwindigkeit halb so groß ist wie die Ballgeschwindigkeit \({v_{{\rm{0}}{\rm{,S}}}} = 32\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 115\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\).

c)Die einfachste Abschätzung besteht darin, dass sich der Schläger mit \({v_{{\rm{0,S}}}}\) ungehindert längs der Strecke \({\Delta {x_{{\rm{max}}}}}\) bewegt:
\[{\Delta {x_{{\rm{max}}}} = {v_{{\rm{0}}{\rm{,S}}}} \cdot \Delta t \Leftrightarrow \Delta t = \frac{{\Delta {x_{{\rm{max}}}}}}{{{v_{{\rm{0}}{\rm{,S}}}}}} \Rightarrow \Delta t = \frac{{5 \cdot {{10}^{ - 3}}{\rm{m}}}}{{32\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}} = 0{,}15\,{\rm{ms}}}\]
Die tatsächliche Kontaktzeit wird länger sein, da der Ball verformt werden muss (Gegenkraft). Es wird die Bewegung verzögert, so dass es länger dauert, bis der Ball die Strecke \({\Delta {x_{{\rm{max}}}}}\) zusammengedrückt wird.

d)Berechnung der durchschnittlichen Kraft:
\[{t_{\rm{K}}} = \pi  \cdot \Delta t \Rightarrow {t_{\rm{K}}} = 0{,}50\,{\rm{ms}}\]
und damit
\[\bar F \cdot \Delta t = m \cdot \Delta v \Leftrightarrow \bar F = \frac{{m \cdot \Delta v}}{{\Delta t}} \Rightarrow \bar F = \frac{{47 \cdot {{10}^{ - 3}}{\rm{kg}} \cdot 63\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{0,50 \cdot {{10}^{ - 3}}{\rm{s}}}} = 6{,}0 \cdot {10^3}\,{\rm{N}} = 6{,}0\,{\rm{kN}}\]