Aus einer im Schützengraben befindlichen Kanone werde eine Granate mit der Masse \(m_1 = 6{,}0\,\rm{kg}\) unter dem Winkel \({\alpha = 30^\circ }\) mit der Geschwindigkeit \({{v_0} = 40\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}\) abgeschossen. Im höchsten Punkt E ihrer Flugbahn explodiert die Granate und zerfällt in zwei Bruchstücke der Massen \(m_2 = 2{,}0\,\rm{kg}\) und \(m_3 = 4{,}0\,\rm{kg}\). Die Bruchstücke bewegen sich unmittelbar nach der Explosion horizontal. Das Bruchstück mit der Masse \(m_2\) landet wieder an der Abschussstelle.
a)
Berechne die Koordinaten der Explosionsstelle E.
b)
Berechne, in welcher Entfernung vom Abschusspunkt das Bruchstück mit der Masse \(m_3\) landet.
c)
Bestimme die bei der Explosion freigesetzte Energie \(\Delta E\).
Berechnung der Steigzeit: Bedingung \(v_y\) bei E ist Null
\[{{v_y}(t) = {v_{0,y}} - g \cdot t \Leftrightarrow 0 = {v_{0,y}} - g \cdot {t_{{\rm{Steig}}}} \Leftrightarrow {t_{{\rm{Steig}}}} = \frac{{{v_{0,y}}}}{g} = \frac{{{v_0} \cdot \sin (\alpha )}}{g} \Rightarrow {t_{{\rm{Steig}}}} = \frac{{40\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot \sin \left( {30^\circ } \right)}}{{9,81\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}} = 2{,}04\,{\rm{s}}}\]
Berechnung der \(x\)-Koordinate von E:
\[{x(t) = {v_{0,x}} \cdot t \Rightarrow {x_{\rm{E}}} = {v_0} \cdot \cos (\alpha ) \cdot {t_{{\rm{Steig}}}} \Rightarrow {x_{\rm{E}}} = 40\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot \cos \left( {30^\circ } \right) \cdot 2{,}04\,{\rm{s}} = 71\,{\rm{m}}}\]
Berechnung der \(y\)-Koordinate von E:
\[y(t) = {v_{0,y}} \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2} \Rightarrow {y_{\rm{E}}} = {v_0} \cdot \sin (\alpha ) \cdot {t_{{\rm{Steig}}}} - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t_{{\rm{Steig}}}}^2\]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[{y_{\rm{E}}} = 40\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot \sin \left( {{{30}^\circ }} \right) \cdot 2,04{\rm{s}} - \frac{1}{2} \cdot 9,81\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot {\left( {2,04{\rm{s}}} \right)^2} = 20{\rm{m}}\]
b)
Wenn das linke Bruchstück wieder beim Ausgangspunkt auftrifft muss es eine Horizontalgeschwindigkeit \({u_2} = - {v_{0,x}}\) haben.
Anwendung des Impulssatzes für den Punkt E:
\[{{m_1} \cdot {v_{0,x}} = {m_2} \cdot {u_2} + {m_3} \cdot {u_3} \Leftrightarrow {u_3} = \frac{{{m_1} \cdot {v_{0,x}} - {m_2} \cdot {u_2}}}{{{m_3}}}}\]
Nutzen der bisherigen Ergebnisse liefert
\[{{u_3} = \frac{{{m_1} \cdot {v_0} \cdot \cos \left( \alpha \right) - {m_2} \cdot \left( { - {v_0} \cdot \cos \left( \alpha \right)} \right)}}{{{m_3}}} \Rightarrow {u_3} = \frac{{\left( {6,0{\rm{kg}} + 2,0{\rm{kg}}} \right) \cdot 40\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot \cos \left( {30^\circ } \right)}}{{4,0{\rm{kg}}}} = 70\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}\]
Die Fallzeit der Bruchstücke ist gleich der Steigzeit (alle Körper fallen gleich schnell!). In der Fallzeit \({t_{{\rm{Fall}}}} = 2{,}04\,{\rm{s}}\) legt das größere Bruchstück den Weg \({\rm{x}}_3^*\) zurück:
\[{\rm{x}}_3^* = {u_3} \cdot {t_{{\rm{Fall}}}} \Rightarrow {\rm{x}}_3^* = 70\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot 2{,}04\,{\rm{s}} = {140\,\rm{m}}\]
Somit ist der Auftreffpunkt des schwereren Bruchstücks \(140\rm{m} + 70\rm{m} = 210\rm{m}\) vom Abschusspunkt entfernt.
c)
Im höchsten Punkt hat die Granate kurz vor der Explosion die kinetische Energie \(E_1\), die Bruchstücke haben nach der Explosion die Energien \(E_2\) und \(E_3\). Für die freiwerdende Energie \(\Delta E\) gilt dann
\[{\Delta E = {E_{{\rm{kin}}{\rm{,2}}}} + {E_{{\rm{kin}}{\rm{,3}}}} - {E_{{\rm{kin}}{\rm{,1}}}} \Leftrightarrow \Delta E = \frac{1}{2} \cdot {m_2} \cdot {v_{0,x}}^2 + \frac{1}{2} \cdot {m_3} \cdot {u_3}^2 - \frac{1}{2} \cdot {m_1} \cdot {v_{0,x}}^2}\]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[{\Delta E = \frac{1}{2} \cdot 2{,}0\,{\rm{kg}} \cdot {{\left( {34{,}6\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2} + \frac{1}{2} \cdot 4{,}0\,{\rm{kg}} \cdot {{\left( {69{,}3\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2} - \frac{1}{2} \cdot 6{,}0\,{\rm{kg}} \cdot {{\left( {34{,}6\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2} = 7{,}2\,{\rm{kJ}}}\]
