Skandal in der Galileo-Schule: Der böse Schüler Tadelix wirft in heimtückischer Absicht von einem Fenster in \(8{,}00\,\rm{m}\) Höhe über dem Schulhof aus in horizontaler Richtung mit einer Geschwindigkeit von \(15{,}0\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\) einen Schneeball los. Dieser trifft haarscharf neben dem Aufsicht führenden Lehrkörper auf dem Schulhof auf (Abb. 1).
Bei den folgenden Aufgaben soll der Luftwiderstand nicht berücksichtigt werden, der Wert für die Erdbeschleunigung sei \(9{,}81\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}\).
a)
Berechne die Zeitspanne vom Abwurf des Schneeballs bis zu seinem Auftreffen auf dem Schulhof. Kontrollergebnis: \(1{,}28\,\rm{s}\)
b)
Berechne die Flugweite des Schneeballs, also den Abstand des Auftreffpunktes vom Schulgebäude. Kontrollergebnis: \(19{,}2\,\rm{m}\)
c)
Bestimme die Gleichung der Bahnkurve des Schneeballs.
d)
Berechne den Betrag der Geschwindigkeit, mit der der Schneeball auf dem Schulhof aufschlug.
e)
Berechne die Weite des Winkels, unter dem der Schneeball auf dem Schulhof aufschlug.
f)
(Ohne Wertung für die Physiknote) Nenne die hier anzuwendende Vorgabe der Schulordnung.
Wir nutzen ein Koordinatensystem mit der \(x\)-Achse nach rechts und der \(y\)-Achse nach oben, dessen Ursprung sich auf dem Schulhof genau unterhalb der Stelle befindet, an dem der Schneeball abgeworfen wird (Abb. 2). Es seien \(t\) die Zeit nach dem Abwurf des Schneeballs und \(\left(x|y\right) = \left(x(t)|y(t)\right)\) die Koordinaten des Schneeballs im Koordinatensystem.
Gegeben sind die Anfangshöhe \(h=8{,}00\,\rm{m}\), die Anfangsgeschwindigkeit \(v_0=15{,}0\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\) und der Ortsfaktor \(g=9{,}81\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}\).
a)
Gesucht ist hier die Wurfzeit \(t_{\rm{W}}\).
Da die Bewegungen in \(x\)- und in \(y\)-Richtung unabhängig voneinander sind, ist die Wurfzeit \(t_{\rm{W}}\) die Zeitspanne, die der Schneeball für die Bewegung in \(y\)-Richtung aus der Anfangshöhe \(h\) bis zum Aufprall bei \(y=0\) benötigen würde.
Die Bewegung in \(y\)-Richtung ist ein freier Fall, d.h. eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung nach unten mit der Beschleunigung \(g\) und der Anfangshöhe \(h\), d.h.\[y(t) = - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2} + h\]Da der Schneeball nach der Wurfzeit \(t_{\rm{W}}\) auf dem Schulhof (\(y=0\)) auftreffen soll, erhalten wir für \(t_{\rm{W}}\) die Gleichung\[0 = - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {{t_{\rm{W}}}^2} + h\]Auflösen dieser Gleichung nach \(t_{\rm{W}}\) ergibt\[t_{\rm{W}} = \sqrt {\frac{{2 \cdot h}}{g}} \]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[t_{\rm{W}} = \sqrt {\frac{2 \cdot 8{,}00\,\rm{m}}{9{,}81\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}}} = 1{,}28\,\rm{s}\]
b)
Gesucht ist hier die Wurfweite \(w\).
Da die Bewegungen in \(x\)- und in \(y\)-Richtung unabhängig voneinander sind, ist die Wurfweite \(w\) die Länge der Strecke, die der Schneeball in \(x\)-Richtung während der Wurfzeit \(t_{\rm{W}}\) zurücklegt.
Die Bewegung in \(x\)-Richtung ist eine gleichförmige Bewegung nach rechts mit der Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\), d.h.\[x(t) = {v_0} \cdot t\]Da der Schneeball nach der Zeitspanne \(t_{\rm{W}}\) auf dem Schulhof auftrifft, erhalten wir für die Wurfweite \(w\) die Gleichung\[w = v_0 \cdot t_{\rm{W}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[w = 15{,}0\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}} \cdot 1{,}28\,\rm{s}=19{,}2\,\rm{m}\]
c)
Wie in den Aufgabenteilen a) und b) bereits gesagt gilt für die Bewegungen in \(x\)-und in \(y\)-Richtung\[\left. \begin{array}{l}x = {v_0} \cdot t \Leftrightarrow t = \frac{x}{{{v_0}}}\\y = - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2} + h\end{array} \right\}\Rightarrow y = - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {\left( {\frac{x}{{{v_0}}}} \right)^2} + h = - \frac{1}{2} \cdot \frac{g}{{{v_0}^2}} \cdot {x^2} + h\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[y = - \frac{1}{2} \cdot \frac{9{,}81\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}}{\left({15{,}0\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}}\right)^2} \cdot {x^2} + 8{,}00\,\rm{m} = - 0{,}0218\,\frac{1}{\rm{m}} \cdot {x^2} + 8{,}00\,\rm{m}\]
d)
Der Betrag \(v_{\rm{W}}\) der Geschwindigkeit beim Aufprall des Schneeballs auf dem Schulhof ergibt sich nach dem Satz des PYTHAGORAS durch\[v_{\rm{W}} = \sqrt {{v_x}{{({t_{\rm{W}}})}^2} + {v_y}{{({t_{\rm{W}}})}^2}} \]Mit \(v_x(t_{\rm{W}}) = v_0\) (gleichförmige Bewegung in \(x\)-Richtung) und \({{v_y}({t_{\rm{W}}}) = - g \cdot {t_{\rm{W}}}}\) (gleichmäßig beschleunigte Bewegung in \(y\)-Richtung) erhalten wir\[{v_{\rm{W}}} = \sqrt {{v_0}^2 + {{\left( { - g \cdot {t_{\rm{W}}}} \right)}^2}} \]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[v_{\rm{W}} = \sqrt {\left(15{,}0\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\right)^2 + \left( -9{,}81\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2} \cdot 1{,}28\,\rm{s} \right)^2} = 19{,}6\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\]
e)
Die Weite \(\alpha_{\rm{W}}\) des Winkels zwischen dem Schulhof und der Flugbahn des Schneeballs beim Aufprallen auf den Schulhof ergibt sich aus der Trigonometrie durch\[\tan (\alpha_{\rm{W}}) = \frac{{{v_y}(t_{\rm{W}})}}{{{v_x}(t_{\rm{W}})}}\]Mit den Ergebnissen aus Aufgabenteil d) ergibt sich\[\tan (\alpha_{\rm{W}}) = \frac{-g \cdot t_{\rm{W}}} {v_0}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[\tan (\alpha_{\rm{W}}) = \frac{-9{,}81\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2} \cdot 1{,}28\,\rm{s}} {15{,}0\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}}=-0{,}837\]und damit\[\alpha_{\rm{W}}=\arctan(-0{,}837)=-39{,}9^\circ\]
