Im Winter 1981/82 warf ein mit der Geschwindigkeit \(720\,\frac{\rm{km}}{\rm{h}}\) horizontal fliegendes Flugzeug eine Sprengladung in die gefrorene Weichsel, um dort das Eis aufzubrechen. Die Sprengladung war mit einem Zeitzünder versehen und detonierte genau \(5{,}00\,\rm{s}\) nach dem Abwurf beim Aufprall auf dem Eis (Abb. 1).
Bei den folgenden Aufgaben soll der Luftwiderstand nicht berücksichtigt werden, der Wert für die Erdbeschleunigung sei \(9{,}81\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}\).
a)
Berechne den horizontalen Abstand vor dem Ziel, in dem die Sprengladung abgeworfen werden musste. Kontrollergebnis: \(1000\,\rm{m}\)
b)
Berechne die Höhe, in der das Flugzeug beim Abwurf der Sprengladung über dem Eis fliegen musste. Kontrollergebnis: \(123\,\rm{m}\)
c)
Bestimme die Gleichung der Bahnkurve der Sprengladung.
d)
Berechne den Betrag der Geschwindigkeit, mit der die Sprengladung auf das Eis aufschlug.
e)
Berechne die Weite des Winkels, unter dem die Sprengladung auf das Eis aufschlug.
Wir nutzen ein Koordinatensystem mit der \(x\)-Achse nach rechts und der \(y\)-Achse nach oben, dessen Ursprung sich auf dem Erdboden genau unterhalb der Stelle befindet, an dem das Flugzeug die Sprengladung abwirft (Abb. 2). Es seien \(t\) die Zeit nach dem Abwurf der Sprengladung und \(\left(x|y\right) = \left(x(t)|y(t)\right)\) die Koordinaten der Sprengladung im Koordinatensystem.
Gegeben sind die Anfangsgeschwindigkeit \(v_0=720\,\frac{\rm{km}}{\rm{h}}=\frac{720}{3{,}6}\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}=200\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\), die Wurfzeit \(t_{\rm{W}}=5{,}00\,\rm{s}\) und der Ortsfaktor \(g=9{,}81\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}\).
a)
Gesucht ist hier die Wurfweite \(w\).
Da die Bewegungen in \(x\)- und in \(y\)-Richtung unabhängig voneinander sind, ist die Wurfweite \(w\) die Länge der Strecke, die die Sprengladung in \(x\)-Richtung während der Wurfzeit \(t_{\rm{W}}\) zurücklegt.
Die Bewegung in \(x\)-Richtung ist eine gleichförmige Bewegung nach rechts mit der Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\), d.h.\[x(t) = {v_0} \cdot t\]Da die Sprengladung nach der Zeitspanne \(t_{\rm{W}}\) auf dem Boden auftrifft, erhalten wir für die Wurfweite \(w\) die Gleichung\[w = v_0 \cdot t_{\rm{W}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[w = 200\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}} \cdot 5{,}00\,\rm{s}=1000\,\rm{m}\]
b)
Gesucht ist hier die Anfangshöhe \(h\).
Da die Bewegungen in \(x\)- und in \(y\)-Richtung unabhängig voneinander sind, ist die Anfangshöhe \(h\) die Länge der Strecke, die die Sprengladung in \(y\)-Richtung während der Wurfzeit \(t_{\rm{W}}\) bis zum Aufprall bei \(y=0\) zurücklegt.
Die Bewegung in \(y\)-Richtung ist ein freier Fall, d.h. eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung nach unten mit der Beschleunigung \(g\) und der Anfangshöhe \(h\), d.h.\[y(t) = - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2} + h\]Da die Sprengladung nach der Wurfzeit \(t_{\rm{W}}\) auf dem Boden (\(y=0\)) auftreffen soll, erhalten wir für \(t_{\rm{W}}\) die Gleichung\[0 = - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {{t_{\rm{W}}}^2} + h\]Auflösen dieser Gleichung nach \(h\) ergibt\[h = \frac{1}{2} \cdot g \cdot {{t_{\rm{W}}}^2}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[h = \frac{1}{2} \cdot 9{,}81\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2} \cdot \left({5{,}00\,\rm{s}}\right)^2 = 123\,\rm{m}\]
c)
Wie in den Aufgabenteilen a) und b) bereits gesagt gilt für die Bewegungen in \(x\)-und in \(y\)-Richtung\[\left. \begin{array}{l}x = {v_0} \cdot t \Leftrightarrow t = \frac{x}{{{v_0}}}\\y = - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2} + h\end{array} \right\}\Rightarrow y = - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {\left( {\frac{x}{{{v_0}}}} \right)^2} + h = - \frac{1}{2} \cdot \frac{g}{{{v_0}^2}} \cdot {x^2} + h\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[y = - \frac{1}{2} \cdot \frac{9{,}81\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}}{\left({200\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}}\right)^2} \cdot {x^2} + 123\,\rm{m} = - 1{,}23 \cdot 10^{-4}\,\frac{1}{\rm{m}} \cdot {x^2} + 123\,\rm{m}\]
d)
Der Betrag \(v_{\rm{W}}\) der Geschwindigkeit beim Aufprall der Sprengladung auf dem Boden ergibt sich nach dem Satz des PYTHAGORAS durch\[v_{\rm{W}} = \sqrt {{v_x}{{({t_{\rm{W}}})}^2} + {v_y}{{({t_{\rm{W}}})}^2}} \]Mit \(v_x(t_{\rm{W}}) = v_0\) (gleichförmige Bewegung in \(x\)-Richtung) und \({{v_y}({t_{\rm{W}}}) = - g \cdot {t_{\rm{W}}}}\) (gleichmäßig beschleunigte Bewegung in \(y\)-Richtung) erhalten wir\[{v_{\rm{W}}} = \sqrt {{v_0}^2 + {{\left( { - g \cdot {t_{\rm{W}}}} \right)}^2}} \]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[v_{\rm{W}} = \sqrt {\left(200\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\right)^2 + \left( -9{,}81\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2} \cdot 5{,}00\,\rm{s} \right)^2} = 206\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\]
e)
Die Weite \(\alpha_{\rm{W}}\) des Winkels zwischen der Eisfläche und der Flugbahn der Sprengladung beim Aufprallen auf das Eis ergibt sich aus der Trigonometrie durch\[\tan (\alpha_{\rm{W}}) = \frac{{{v_y}(t_{\rm{W}})}}{{{v_x}(t_{\rm{W}})}}\]Mit den Ergebnissen aus Aufgabenteil d) ergibt sich\[\tan (\alpha_{\rm{W}}) = \frac{-g \cdot t_{\rm{W}}} {v_0}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[\tan (\alpha_{\rm{W}}) = \frac{-9{,}81\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2} \cdot 5{,}00\,\rm{s}} {200\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}}=-0{,}245\]und damit\[\alpha_{\rm{W}}=\arctan(-0{,}245)=-13{,}8^\circ\]
