Das Universalgenie Leonardo da VINCI (1452 - 1519) entwarf einige Kriegsmaschinen, von denen seine "Riesenarmbrust" (besser: Katapult) wohl am bekanntesten ist. Man kann die Ausmaße dieses Kriegsgerätes erahnen, wenn man sie mit der Größe des am Auslösemechanismus befindlichen Soldaten vergleicht.
Leonardo gibt auf der Zeichnung einige Maße an: Bogenspannweite: \(42\) Armlängen; Fahruntersatz: \(2\) Armlängen breit und \(40\) Armlängen lang. Dabei ist für eine Armlänge ungefähr \(60\,\rm{cm}\) anzunehmen.
Der große Bogen ist aus Teilstücken zusammengesetzt, um ihm eine größere Flexibilität zu geben. Die Sehne des Bogens wird durch eine Schnecke, die von einem Getriebe bewegt wird, zurückgezogen (das Getriebe ist rechts unten dargestellt). Links unten auf der Zeichnung sind zwei Mechanismen dargestellt, die als Auslöser der Sehne dienen.
Im Folgenden sollst du einige sehr grobe Abschätzungen anstellen.
a)
Der abzuschießende Pfeil aus Hartholz sei \(7\) Armlängen lang und habe einen Querschnitt von \(1{,}0\,\rm{dm}^2\).
Berechne die ungefähre Masse des Pfeils.
b)
Der Pfeil soll unter einem Winkel von ca. \({20^\circ }\) gegenüber der Horizontalen abgeschossen werden und mindestens ein Ziel in \(100\,\rm{m}\) Entfernung erreichen.
Schätze den Betrag der Abschussgeschwindigkeit rechnerisch ab.
c)
In der skizzierten Stellung sei die Sehne des Bogens fast entspannt. Die Sehnenmitte soll um ca. \(6\) Armlängen gespannt werden können.
Untersuche, welche "Federhärte" \(D\) dann die Anordnung etwa haben muss, damit die in Teilaufgabe b) berechnete Abschussgeschwindigkeit erreicht werden kann. Gehe von einem linearen Kraftgesetz beim Spannvorgang aus.
d)
Die beiden Sehnenhälften mögen im gespannten Zustand einen Winkel von ca. \({110^\circ }\) einschließen.
Schätze rechnerisch die Kraft längs der Bogensehne im gespannten Zustand ab.
Die 7 Armlängen des Pfeils entsprechen einer Länge von ca. \(4,2\rm{m}\), sein Querschnitt ist \(0,01{\rm{m}^2}\). Hartholz hat etwa eine Dichte \(0,70 \cdot {10^3}\rm{\frac{{kg}}{{{m^3}}}}\). Damit ergibt sich
\[m = \rho \cdot V = \rho \cdot A \cdot \ell \Rightarrow m = 0,70 \cdot {10^3}\frac{{{\rm{kg}}}}{{{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} \cdot 0,010{{\rm{m}}^{\rm{2}}} \cdot 4{,}2\,{\rm{m}} = 29\,{\rm{kg}}\]
b)
Wie du aus der Formel für die Wurfweite beim schrägen Wurf sehen kannst, gilt
\[{x_{\rm{W}}} = \frac{{{v_0}^2 \cdot \sin (2\alpha )}}{g} \Rightarrow {v_0} = \sqrt {\frac{{{x_{\rm{W}}} \cdot g}}{{\sin (2\alpha )}}} \Rightarrow {v_0} = \sqrt {\frac{{100{\rm{m}} \cdot 9,81\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}}{{\sin (2 \cdot 20^\circ )}}} = 39\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]
c)
Die kinetische Energie, die der Pfeil beim Verlassen des Katapults hat, muss gleich der Spannenergie des gespannten Bogens sein:
\[\frac{1}{2} \cdot D \cdot {\left( {\Delta x} \right)^2} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v_0}^2 \Rightarrow D = \frac{{m \cdot {v_0}^2}}{{{{\left( {\Delta x} \right)}^2}}} \Rightarrow D = \frac{{29{\rm{kg}} \cdot {{\left( {39\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}}}{{{{\left( {3,6{\rm{m}}} \right)}^2}}} = 3{,}4 \cdot {10^3}\,\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}}\]
d)
Joachim Herz Stiftung
Abb. 2 Lösung zu Teil d)
Für die Dehnung um \(3,6\rm{m}\) ist die maximale Kraft \({F_{\rm{max}}}\) notwendig:
\[{F_{\max }} = D \cdot \Delta x \Rightarrow {F_{\max }} = 3,4 \cdot {10^3}\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}} \cdot 3,6{\rm{m}} = 1,2 \cdot {10^4}{\rm{N}}\]
Durch die Anwendung des Sinussatzes erhält man:
\[{\frac{{{F_{{\rm{Zug}}}}}}{{{F_{\max }}}} = \frac{{\sin (55^\circ )}}{{\sin (70^\circ )}} \Leftrightarrow {F_{{\rm{Zug}}}} = {F_{\max }} \cdot \frac{{\sin (55^\circ )}}{{\sin (70^\circ )}}}\]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[{{F_{{\rm{Zug}}}} = 1,2 \cdot {{10}^4}{\rm{N}} \cdot \frac{{\sin (55^\circ )}}{{\sin (70^\circ )}} = 1{,}0 \cdot {{10}^4}\,{\rm{N}}}\]
In der Sehne wirkt also eine Zugkraft von ca. \(10\,\rm{kN}\).
