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Aufgabe

Golf 7

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Beim neuen Golf 7 wird ein \(c_{\rm{w}}\)-Wert von \(0{,}25\) und eine Stirnfläche von \(2{,}19\,\rm{m}^2\)  angegeben. Die maximale Leermasse beträgt \(1615\,\rm{kg}\). Betrachtet wird der Transport von zwei Erwachsenen von jeweils ca. \(80\,\rm{kg}\). Es herrsche Rollreibung mit einem Rollreibungskoeffizienten \(\mu_{\rm{RR}} = 0{,}030\) (Tabellenwerke, siehe z.B. Tabellenbuch Metall, Europa-Verlag) . Das Fahrzeug fährt mit konstanter Geschwindigkeit in der Ebene.

Hinweis: Im Folgenden kann für die Dichte der Luft immer der Wert \(\rho_{\rm{Luft}} = 1{,}2\,\frac{\rm{kg}}{\rm{m}^3}\) angenommen werden.

a)

Berechne die Fahrzeuggeschwindigkeit, ab der der Strömungswiderstand den Rollreibungswiderstand übertrifft.

b)

Das Fahrzeug fährt mit der konstanten Fahrgeschwindigkeit \(30{,}0\,\frac{\rm{km}}{\rm{h}}\) bzw. \(60{,}0\,\frac{\rm{km}}{\rm{h}}\) bzw. \(130\,\frac{\rm{km}}{\rm{h}}\).

Berechne die Antriebsleistung, die zum Fahren mit diesen Geschwindigkeiten nötig ist.

Rechne auch in die veraltete aber anschauliche Einheit Pferdestärke \(\rm{PS}\) (\(1\,\rm{PS} = 736\,\rm{W}\)) um.

c)

Berechne, wie viel Liter Benzin (Brennwert \(H\) ca. \(9{,}0\,\frac{\rm{kWh}}{\ell}\))  man bei diesen Geschwindigkeiten auf \(100\) Kilometer benötigt.

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a)

Der Rollreibungswiderstand berechnet sich durch\[F_{\rm{RR}} = \mu_{\rm{RR}} \cdot m_{\rm{ges}} \cdot g\]Der Strömungswiderstand in Luft berechnet sich durch\[F_{\rm{w}} = \frac{1}{2} \cdot c_{\rm{W}} \cdot \rho_{\rm{Luft}} \cdot A \cdot v^2\]Aus der Bedingung, dass der Strömungswiderstand den Rollreibungswiderstand übertreffen soll, ergibt sich\[\begin{eqnarray}F_{\rm{w}} & \gt &  F_{\rm{RR}} \\\frac{1}{2} \cdot c_{\rm{W}} \cdot \rho_{\rm{Luft}} \cdot A \cdot v^2 &\gt&  \mu_{\rm{RR}} \cdot m_{\rm{ges}} \cdot g \\v &\gt& \sqrt{\frac{2 \cdot \mu_{\rm{RR}} \cdot m_{\rm{ges}} \cdot g}{c_{\rm{W}} \cdot \rho_{\rm{Luft}} \cdot A}}\end{eqnarray}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert mit \(m_{\rm{ges}} =1615\,\rm{kg}+2\cdot 80\,\rm{kg}=1775\,\rm{kg}\)\[v>\sqrt {\frac{{2 \cdot 0{,}030 \cdot 1775\,{\rm{kg}} \cdot 9{,}81\,\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}}}}{{0{,}25 \cdot 1{,}2\,\frac{\rm{kg}}{\rm{m}^3} \cdot 2{,}19\,\rm{m}^2}}}  = 40\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}=140\,\frac{\rm{km}}{\rm{h}}\]

b)

Die benötigte Leistung \(P\) errechnen sich aus der zu überwindenden Rollreibungskraft, dem Strömungswiderstand und der Fahrgeschwindigkeit:\[P = F \cdot v = \left( {{F_{{\rm{RR}}}} + {F_{\rm{w}}}} \right) \cdot v = {\rm{ }}\left( {\mu  \cdot {m_{{\rm{ges}}}} \cdot g + \frac{1}{2} \cdot {c_{\rm{w}}} \cdot {\rho _{{\rm{Luft}}}} \cdot A \cdot {v^2}} \right) \cdot v\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert mit \(v=30{,}0\,\frac{\rm{km}}{\rm{h}}=8{,}33\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\)\[{P_{30\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}}} = \left( {0{,}030 \cdot 1775\,{\rm{kg}} \cdot 9{,}81\,\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}} + \frac{1}{2} \cdot 0{,}25 \cdot 1{,}2\,\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^3}}} \cdot 2{,}19\,{{\rm{m}}^2} \cdot {{\left( {8{,}33\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}} \right) \cdot 8{,}33\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 4{,}5\,{\rm{kW}}=6{,}2\,\rm{PS}\]Analog ergibt sich mit \(v=60{,}0\,\frac{\rm{km}}{\rm{h}}=16{,}7\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\) bzw. \(v=130\,\frac{\rm{km}}{\rm{h}}=36{,}1\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\)\[{P_{60\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}}} = \left( {0{,}030 \cdot 1775\,{\rm{kg}} \cdot 9{,}81\,\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}} + \frac{1}{2} \cdot 0{,}25 \cdot 1{,}2\,\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^3}}} \cdot 2{,}19\,{{\rm{m}}^2} \cdot {{\left( {16{,}7\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}} \right) \cdot 16{,}7\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 10\,{\rm{kW}}=14\,\rm{PS}\]\[{P_{130\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}}} = \left( {0{,}030 \cdot 1775\,{\rm{kg}} \cdot 9{,}81\,\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}} + \frac{1}{2} \cdot 0{,}25 \cdot 1{,}2\,\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^3}}} \cdot 2{,}19\,{{\rm{m}}^2} \cdot {{\left( {36{,}1\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}} \right) \cdot 36{,}1\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 34\,{\rm{kW}}=47\,\rm{PS}\]Erstaunlich, dass mit realistischen Werten so geringe Werte für die benötigte Leistung herauskommen. Eine hohe PS-Zahl ist nur etwas für Angeber und nicht notwendig.

c)

Bezeichnen wir mit \(E\) die Gesamtenergie, die man für die Fahrt einer Strecke von \(100\,\rm{km}\) benötigt und mit \(V\) die benötigte Menge \(V\) an Benzin, dann gilt mit dem Brennwert \(H=9{,}0\,\frac{\rm{kWh}}{\ell}\)\[E=H \cdot V \Leftrightarrow V = \frac{E}{H}\]Mit \(E=P \cdot t\) und \(t=\frac{s}{v}\)  ergibt sich \[V=\frac{P \cdot t}{H} = \frac{P \cdot s}{H \cdot v}\]Für eine Fahrgeschwindigkeit von \(v=30{,}0\,\frac{\rm{km}}{\rm{h}}\) ergibt sich mit \({P_{30\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}}} = 4{,}5{\rm{kW}}\), \(s=100\,\rm{km}\), \(H=9{,}0\,\frac{\rm{kWh}}{\ell}\)\[V_{30\frac{\rm{km}}{\rm{h}}} = \frac{ 4{,}5\,\rm{kW} \cdot 100\,\rm{km} } { 9{,}0\,\frac{\rm{kWh}}{\ell} \cdot 30{,}0\,\frac{\rm{km}}{\rm{h}}}=1{,}7\,\ell\]und analog\[V_{60\frac{\rm{km}}{\rm{h}}} = \frac{10\,\rm{kW} \cdot 100\,\rm{km}} {9{,}0\,\frac{\rm{kWh}}{\ell} \cdot 60{,}0\,\frac{\rm{km}}{\rm{h}}}=1{,}9\,\ell\]\[V_{130\frac{\rm{km}}{\rm{h}}} = \frac{34\,\rm{kW} \cdot 100\,\rm{km}} { 9{,}0\,\frac{\rm{kWh}}{\ell} \cdot 130{,}0\,\frac{\rm{km}}{\rm{h}}}=2{,}9\,\ell\]Das ist natürlich nur eine grobe Rechnung für ein gleichmäßiges Dahinfahren. Durch ständiges Bremsen und Beschleunigen, z.B. im Stadtverkehr wird natürlich zusätzlich Sprit „verbraten“.

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