Zuerst einmal liefert die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide\[{A_1} \cdot {v_1} = {A_2} \cdot {v_2}\]mit \({A_1} = \pi \cdot r_1^2 = \pi \cdot {\left( {\frac{{{d_1}}}{2}} \right)^2} = \pi \cdot \frac{{{d_1}^2}}{4}\) bzw. \({A_2} = \pi \cdot \frac{{{d_2}^2}}{4}\)\[\pi \cdot \frac{{{d_1}^2}}{4} \cdot {v_1} = \pi \cdot \frac{{{d_2}^2}}{4} \cdot {v_2} \Leftrightarrow {d_1}^2 \cdot {v_1} = {d_2}^2 \cdot {v_2}\]Auflösen nach \(v_2\) und Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{v_2} = \frac{{{d_1}^2}}{{{d_2}^2}} \cdot {v_1} \Rightarrow {v_2} = \frac{{{{\left( {30\,{\rm{mm}}} \right)}^2}}}{{{{\left( {20\,{\rm{mm}}} \right)}^2}}} \cdot {v_1} = \frac{9}{4} \cdot {v_1} \quad(1)\]Die BERNOULLI-Gleichung für das VENTURI-Rohr lautet\[\frac{1}{2} \cdot \rho \cdot v_1^2+p_1=\frac{1}{2} \cdot \rho \cdot v_2^2+p_2\]Umformen liefert\[\begin{eqnarray}\frac{1}{2} \cdot \rho \cdot v_1^2 + {p_1} &=& \frac{1}{2} \cdot \rho \cdot v_2^2 + {p_2}\\\frac{1}{2} \cdot \rho \cdot v_2^2 - \frac{1}{2} \cdot \rho \cdot v_1^2 = {p_1} - {p_2} &=& \Delta p\\\frac{1}{2} \cdot \rho \cdot \left( {v_2^2 - v_1^2} \right) &=& \Delta p\end{eqnarray}\]Nutzt man nun Gleichung \((1)\), so ergibt sich\[\frac{1}{2} \cdot \rho \cdot \left( {{{\left( {\frac{9}{4} \cdot {v_1}} \right)}^2} - v_1^2} \right) = \frac{1}{2} \cdot \rho \cdot \frac{{65}}{{16}} \cdot v_1^2 = \Delta p\]Auflösen nach \(v_1\) und Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{v_1} = \sqrt {\frac{{2 \cdot \Delta p}}{{\frac{{65}}{{16}} \cdot \rho }}} \Rightarrow {v_1} = \sqrt {\frac{{2 \cdot 200\,{\rm{Pa}}}}{{\frac{{65}}{{16}} \cdot 1{,}2\,\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^3}}}}}} = 9{,}1\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]In unserer Herleitung haben wir nicht berücksichtig, dass sich bei Gasen bei hohen Strömungsgeschwindigkeiten oder Temperaturen die Dichte ändern kann. Dann wird die Herleitung komplizierter, das Prinzip bleibt aber gleich.
