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Grundwissen

Stehende Wellen - Fortführung

Stehende Welle durch Reflexion einer Welle an einem festen Ende

Abb. 1 Reflexion einer Welle an einem festen Ende und resultierende stehende Welle

Die "blaue" Primärwelle läuft von rechts nach links. Sie löst durch Anregung der Wand die von der Wand in beide Richtungen ausgehende, rot skizzierte Sekundärwelle aus.

Die "rote" Welle schwingt mit Phasenverzögerung von \(\pi \) achsensymmetrisch zur Wand. Die von der Wand ausgehende "rote" Welle ist rechts von der Wand zur "blauen" Welle gegenläufig und überlagert sich mit dieser zur violetten stehenden Welle mit doppelter Amplitude und einem Knoten direkt an der Wand. Links von der Wand sind "blaue" und "rote" Welle gleichläufig und gegenphasig. Sie heben sich dadurch auf.

Hinweis: Bei der Reflexion einer elektromagnetischen Welle verhält sich das elektrische Feld ähnlich wie eine mechanische Welle, die am festen Ende reflektiert wird.

Rechnerische Betrachtung der Welle vor der Wand (Koordinatenursprung bei der Wand)

Gleichung der von rechts kommenden und nach links laufenden Welle (blau): \[{y_L}(x;t) = {y_0} \cdot \sin \left( {2 \cdot \pi  \cdot \left( {\frac{t}{T} + \frac{x}{\lambda }} \right)} \right)\]
Gleichung der nach rechts laufenden Welle (rot): \[{y_R}(x;t) = {y_0} \cdot \sin \left( {2 \cdot \pi  \cdot \left( {\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda } - \frac{1}{2}} \right)} \right)\]
Überlagerung (Summe) beider Wellen (violett): \[{y_{ges}}(x;t) = {y_L}(x;t) + {y_R}(x;t)={y_0} \cdot \sin \left( {2 \cdot \pi  \cdot \left( {\frac{t}{T} + \frac{x}{\lambda }} \right)} \right)+{y_0} \cdot \sin \left( {2 \cdot \pi  \cdot \left( {\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda } - \frac{1}{2}} \right)} \right)\]Mit dem Additionstheorem (aus der Formelsammlung)\[\sin \left( \alpha  \right)\,\, + \,\,\sin \left( \beta  \right) = 2 \cdot \cos \left( {\frac{{\alpha  - \beta }}{2}} \right) \cdot \sin \left( {\frac{{\alpha  + \beta }}{2}} \right)\]ergibt sich nach einigen Rechenschritten\[{y_{ges}}(x;t) = 2 \cdot {y_0} \cdot \cos \left( {2 \cdot \pi  \cdot \frac{x}{\lambda } + \frac{\pi }{2}} \right) \cdot \sin \left( {2 \cdot \pi  \cdot \frac{t}{T} - \frac{\pi }{2}} \right)\]

Dies ist die Gleichung der stehenden Welle. Sie zeichnet sich dadurch aus, dass an allen Punkten die Schwingung phasengleich \(\left( {\sin \left( {2 \cdot \pi \frac{t}{T} - \frac{\pi }{2}} \right)} \right)\) erfolgt, aber die Amplitude \(\left( {2 \cdot {y_0} \cdot \cos \left( {2 \cdot \pi  \cdot \frac{x}{\lambda } + \frac{\pi }{2}} \right)} \right)\) vom Ort abhängt und an der Wand einen Knoten hat.

Wenn du an der ausführlichen Rechnung interessiert bist, so kannst du diese hier einblenden.

Stehende Welle durch Reflexion einer Welle an einem losen Ende

Abb. 2 Reflexion einer Welle an einem losen Ende und resultierende stehende Welle

Die "blaue" Primärwelle läuft von rechts nach links. Sie stößt auf die Wand und regt so die "rote" Sekundärwelle an, die von der Wand aus in beide Richtungen läuft.

Rechts von der Wand ist die "rote" Welle zur "blauen" gegenläufig und überlagert sich mit dieser zur "violetten" stehenden Welle mit doppelter Amplitude und einem Bauch direkt an der Wand.

Links von der Wand ist die "rote" Welle zur "blauen" gleichläufig und gegenphasig, sie löschen sich daher links von der Wand aus.

Hinweis: Bei der Reflexion einer elektromagnetischen Welle verhält sich das Magnetfeld ähnlich wie eine mechanische Welle, die am losen Ende reflektiert wird.

Rechnerische Betrachtung der Welle vor der Wand (Koordinatenursprung bei der Wand)

Gleichung der von rechts kommenden und nach links laufenden Welle (blau): \[{y_L}(x;t) = {y_0} \cdot \sin \left( {2 \cdot \pi  \cdot \left( {\frac{t}{T} + \frac{x}{\lambda }} \right)} \right)\]
Gleichung der nach rechts laufenden Welle (rot): \[{y_R}(x;t) = {y_0} \cdot \sin \left( {2 \cdot \pi  \cdot \left( {\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda }} \right)} \right)\]
Überlagerung (Summe) beider Wellen (violett): \[{y_{ges}}(x;t) = {y_L}(x;t) + {y_R}(x;t)={y_0} \cdot \sin \left( {2 \cdot \pi  \cdot \left( {\frac{t}{T} + \frac{x}{\lambda }} \right)} \right)+{y_0} \cdot \sin \left( {2 \cdot \pi  \cdot \left( {\frac{t}{T} + \frac{x}{\lambda }} \right)} \right)\]Mit dem Additionstheorem (aus der Formelsammlung)\[\sin \left( \alpha  \right)+\sin \left( \beta  \right) = 2 \cdot \cos \left( {\frac{{\alpha  - \beta }}{2}} \right) \cdot \sin \left( {\frac{{\alpha  + \beta }}{2}} \right)\] ergibt sich nach einigen Rechenschritten\[{y_{ges}}(x;t) = 2 \cdot {y_0} \cdot \cos \left( {2 \cdot \pi  \cdot \frac{x}{\lambda }} \right) \cdot \sin \left( {2 \cdot \pi  \cdot \frac{t}{T}} \right)\]

Dies ist die Gleichung der stehenden Welle. Sie zeichnet sich dadurch aus, dass an allen Punkten die Schwingung phasengleich \(\left( {\sin \left( {2 \cdot \pi  \cdot \frac{t}{T}} \right)} \right)\) erfolgt, aber die Amplitude \(\left( {2 \cdot {y_0} \cdot \cos \left( {2 \cdot \pi  \cdot \frac{x}{\lambda }} \right)} \right)\) vom Ort abhängt und an der Wand einen Bauch mit der Größe \(2 \cdot {y_0}\) hat.