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Aufgabe

Erzeugung einer stehenden Welle 3

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Auf einem \(14\,\rm{m}\) langen linearen Wellenträger breiten sich mechanische Querwellen mit einer Geschwindigkeit von \(c=2{,}0\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\) aus. Am linken Ende wird der Wellenträger sinusförmig mit der Amplitude \(0{,}10\,\rm{m}\) und einer Schwingungsdauer von \(4{,}0\,\rm{s}\) angeregt. Sobald diese Welle am rechten Ende des Wellenträgers ankommt, wir sie dort reflektiert, d.h. es wird am rechten Ende des Wellenträgers eine gleichartige Welle erzeugt, die sich nach links ausbreitet.

a)

Berechne die Wellenlängen der beiden Wellen. [Kontrollergebnis: \(8{,}0\,\rm{m}\)]

b)

Berechne die Zeit, die die erste Welle benötigt, bis sie am rechten Ende des Wellenträgers ankommt. [Kontrollergebnis: \(7{,}0\,\rm{s}\)]

c)

Stelle die Wellenfunktionen der beiden Wellen auf.

Beachte: Die zweite Welle startet \(7{,}0\,\rm{s}\) später am Ort \(14\,\rm{m}\) und breitet sich nach links aus.

d)

Stelle die beiden Wellenfunktionen mit einem GTR, einem Computerprogramm oder einer App wie z.B. GeoGebra graphisch dar.

Hinweise

  • Realisiere die Zeit \(t\) durch einen zwischen \(0\,\rm{s}\) und \(16\,\rm{s}\) veränderbaren Parameter \(t\) in den beiden Funktionstermen.
  • Realisiere die Länge des Wellenträgers durch eine geeignete Einschränkung des Definitionsbereichs der beiden Funktionen.
e)

Stelle mit dem GTR, dem Programm oder der App die Summe(nfunktion) der beiden Wellenfunktionen graphisch dar.

f)

Gib an, an welchen Orten sich die Knoten dieser stehenden Welle befinden und welchen Abstand sie haben.

Gib an, an welchen Orten sich die Bäuche dieser stehenden Welle befinden und welchen Abstand sie haben.

Gib an, ob bei dieser stehenden Welle die Enden lose oder fest sind.

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a)

Mit \(c=2{,}0\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\) und \(T= 4{,}0\,\rm{s}\) nutzen wir die Formel zur Berechnung der Wellenlänge einer Welle\[\lambda = c \cdot T\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert (bei zwei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[\lambda = 2{,}0\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}} \cdot 4{,}0\,\rm{s} = 8{,}0\,\rm{m}\]

b)

Mit \(c=2{,}0\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\) und \(s= 14\,\rm{m}\) nutzen wir die Formel zur Berechnung der zurückgelegten Strecke bei einer gleichförmigen Bewegung\[s = v \cdot t \Leftrightarrow t=\frac{s}{v}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert (bei zwei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[t=\frac{14\,\rm{m}}{2{,}0\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}} = 7{,}0\,\rm{s}\]

c)

Mit \(T= 4{,}0\,\rm{s}\) und \(\lambda = 8{,}0\,\rm{m}\) gilt für die bei \(t_0=0\,\rm{s}\) und \(x_0=0\,\rm{m}\) startende und nach rechts laufende Welle\[{y_{\rm{R}}}(x;t) = \hat y \cdot \sin \left( {2 \, \pi \cdot \left( {\frac{t}{T} \textcolor{red}{-} \frac{x}{\lambda }} \right)} \right) = 0{,}10\,{\rm{m}} \cdot \sin \left( {2 \, \pi  \cdot \left( {\frac{t}{{4{,}0\,{\rm{s}}}} \textcolor{red}{-} \frac{x}{{8{,}0\,{\rm{m}}}}} \right)} \right)\]und für die bei \(t_0=7{,}0\,\rm{s}\) und \(x_0=14\,\rm{m}\) startende und nach links laufende Welle\[{y_{\rm{L}}}(x;t) = \hat y \cdot \sin \left( {2 \, \pi \cdot \left( {\frac{t\textcolor{red}{-t_0}}{T} \textcolor{red}{+} \frac{x\textcolor{red}{-x_0}}{\lambda }} \right)} \right) = 0{,}10\,{\rm{m}} \cdot \sin \left( {2 \, \pi  \cdot \left( {\frac{t\textcolor{red}{-7{,}0\,\rm{s}}}{{4{,}0\,{\rm{s}}}} \textcolor{red}{+} \frac{x\textcolor{red}{-14\,\rm{m}}}{{8{,}0\,{\rm{m}}}}} \right)} \right)\]

d)

Die Lösung mit GeoGebra findest du hier. Lasse dir \(f\) oder/und \(g\) anzeigen und dann den Parameter \(t\) automatisch laufen.

e)

Die Lösung mit GeoGebra findest du hier. Lasse dir \(h\) anzeigen und dann den Parameter \(t\) automatisch laufen.

f)

Die Knoten befinden sich bei \(x=0\,\rm{m}\), \(x=4{,}0\,\rm{m}\), \(x=8{,}0\,\rm{m}\) und \(x=12{,}0\,\rm{m}\), sie haben den Abstand \(\frac{\lambda}{2}=4{,}0\,\rm{m}\).

Die Bäuche befinden sich bei \(x=2{,}0\,\rm{m}\), \(x=6{,}0\,\rm{m}\), \(x=10\,\rm{m}\) und \(x=14\,\rm{m}\), sie haben ebenfalls den Abstand \(\frac{\lambda}{2}=4{,}0\,\rm{m}\).

Das linke Ende ist fest, das rechte Ende lose.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Mechanische Wellen