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Aufgabe

Zeichnen des Wellenfeldes

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Zwei Erreger schwingen gleichphasig mit der Amplitude \(\hat y\) und der Frequenz \(f = 100\,\rm{Hz}\). Für die Schwingungsgleichung der Erreger gilt \(y(t) = \hat y \cdot \cos \left( {\omega  \cdot t} \right)\). Der Abstand der Erreger ist \(b = \frac{3}{4} \cdot \lambda \). Die Wellen breiten sich mit der Geschwindigkeit \(c = 1{,}00\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) aus.

a)Zeichne das Wellenfeld zur Zeit \(t = 8 \cdot T\) im Maßstab \(1:1\).

b)Zeichne die Linien konstruktiver Interferenz blau und die Linien destruktiver Interferenz rot ein.

c)Stelle dar, wie man ohne Zeichnung, nur durch Überlegung, feststellen kann, wie viele Linien konstruktiver bzw. destruktiver Interferenz auftreten werden. Die üblichen Näherungen seien dabei erlaubt.

d)Erläutere, wie sich das Interferenzwellenfeld ändert, wenn die beiden Erreger gegenphasig schwingen.

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Vorüberlegung: Die Wellenlänge \(\lambda \) berechnet sich aus \(c\) und \(f\) zu
\[\lambda  = \frac{c}{f} \Rightarrow \lambda  = \frac{{1{,}00\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{100\,{\rm{Hz}}}} = 0{,}0100\,{\rm{m}} = 1{,}00\,{\rm{cm}}\]

a)

Die dickeren Linien stellen z.B. den Wellenberg einer Quelle, die dünne Linie ein Wellental der Quelle dar.

Trifft ein Wellenberg (Wellental) des einen Senders auf einen Wellenberg (Wellental) des anderen Senders, so kommt es zur konstruktiven Interferenz.

Trifft ein Wellenberg (Wellental) des einen Senders auf einen Wellental (Wellenberg) des anderen Senders, so kommt es zur destruktiven Interferenz.

b)Siehe Zeichnung.

c)Geht man näherungsweise davon aus, dass die Wellenstrahlen parallel verlaufen, so ergibt sich konstruktive Interferenz für
\[b \cdot \sin \left( \alpha  \right) = k \cdot \lambda  \Leftrightarrow \sin \left( \alpha  \right) = \frac{{k \cdot \lambda }}{b}\;;\;k \in \left\{ {0;\;1;\;2 ;\;3;\;...} \right\}\]
Da der Sinus stets kleiner oder gleich \(1\) ist, gilt
\[\frac{{k \cdot \lambda }}{b} \le 1 \Leftrightarrow k \le \frac{b}{\lambda } = \frac{{\frac{3}{4} \cdot \lambda }}{\lambda } = \frac{3}{4}\]
Somit ergibt sich für \(k\) nur die Möglichkeit \(k = 0\), d.h. es tritt nur das Maximum 0. Ordnung auf.
Ähnlich ergibt sich für destruktive Interferenz
\[b \cdot \sin \left( \alpha  \right) = \left( {k - \frac{1}{2}} \right) \cdot \lambda  \Leftrightarrow \sin \left( \alpha  \right) = \frac{{\left( {k - \frac{1}{2}} \right) \cdot \lambda }}{b};\;k \in \left\{ {1;\;2 ;\;3;\;...} \right\}\]
Da der Sinus stets kleiner oder gleich \(1\) ist, gilt
\[\frac{{\left( {k - \frac{1}{2}} \right) \cdot \lambda }}{b} \le 1 \Leftrightarrow k \le \frac{b}{\lambda } + \frac{1}{2} = \frac{{\frac{3}{4} \cdot \lambda }}{\lambda } + \frac{1}{2} = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} = 1\frac{1}{4}\]
Somit ergibt sich für \(k\) nur die Möglichkeit \/k = 1\), d.h. es tritt nur das Minimum 1. Ordnung auf.

d)Die Zonen destruktiver Interferenz tauschen mit denen konstruktiver Interferenz den Platz.