Mechanische Wellen

Mit \(c=5{,}0\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\) und \(\lambda=50\,\rm{cm}=0{,}50\,\rm{m}\) nutzen wir die Formel für die Wellenlänge einer harmonischen Welle\[\lambda = \frac{c}{f} \Leftrightarrow f=\frac{c}{\lambda}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert (bei zwei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[f=\frac{5{,}0\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}}{0{,}50\,\rm{m}}=10\,\rm{Hz}\]Damit ergibt sich für die Schwingungsdauer\[T=\frac{1}{f} \Rightarrow T=\frac{1}{10\,\rm{Hz}}=0{,}10\,\rm{s}\]

Die Welle breitet sich gleichförmig aus. Mit \(v=c=5{,}0\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\) und \(s=15\,\rm{m}\) nutzen wir die Formel für die zurückgelegte Strecke bei einer gleichförmigen Bewegung\[s=v \cdot t \leftrightarrow t=\frac{s}{v}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert (bei zwei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[t=\frac{15\,\rm{m}}{5{,}0\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}} = 3{,}0\,\rm{s}\]

Die beschriebene Anfangssituation wird am besten durch eine Sinusfunktion beschrieben. Mit \(\hat y = 12\,\rm{cm}=0{,}12\,\rm{m}\), \(T=0{,}10\,\rm{s}\) und \(\lambda = 0{,}50\,\rm{m}\) ergibt sich für die Wellenfunktion\[y(t;x) = 0{,}12\,{\rm{m}} \cdot \sin \left( {2\,\pi  \cdot \left( {\frac{t}{0{,}10\,\rm{s}} - \frac{x}{0{,}50\,\rm{m}}} \right)} \right)\]

Mit \(x=8{,}0\,\rm{m}\) und \(t=5{,}5\,\rm{s}\) ergibt sich für die Auslenkung des Oszillators an diesem Ort und zu diesem Zeitpunkt\[\begin{array}{l}y(5{,}5\,{\rm{s}};8{,}0\, {\rm{m}})\\ = 0{,}12\,{\rm{m}} \cdot \sin \left( {2\,\pi  \cdot \left( {\frac{{5{,}5\,{\rm{s}}}}{{0{,}10\,{\rm{s}}}} - \frac{{8{,}0\,{\rm{m}}}}{{0{,}50\,{\rm{m}}}}} \right)} \right)\\ = 0{,}12\,{\rm{m}} \cdot \sin \left( {2\, \pi  \cdot \left( {55 - 16} \right)} \right)\\ = 0{,}12\,{\rm{m}} \cdot \sin \left( {2\,\pi  \cdot 39} \right)\\ = 0{,}12\,{\rm{m}} \cdot \sin \left( {78\,\pi } \right)\\ =  0\,{\rm{m}}\end{array}\]