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Versuche

Federpendel (Simulation mit Versuchsanleitung)

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Die Simulation ermöglicht die Untersuchung der Abhängigkeit der Schwingungsdauer eines Federpendels von den relevanten Parametern.
Aufgaben Aufgaben
Aufbau und Durchführung
Anfangsauslenkung
x0
Masse
m
Federkonstante
D
HTML5-Canvas nicht unterstützt!
Abb. 1 Einfluss der verschiedenen Parameter auf die Schwingungsdauer eines Federpendels

Die Simulation in Abb. 1 zeigt den prinzipiellen Aufbau, die Durchführung und die Beobachtung des Versuchs zur Untersuchung der Abhängigkeit der Schwingungsdauer \(T\) eines Federpendels von den relevanten Parametern.

Mit den Schiebereglern kannst du die Anfangsauslenkung \(x_0\), die Masse \(m\) des Pendelkörpers und die Federkonstante \(D\) in bestimmten Grenzen verändern und so deren Einfluss auf die Schwingungsdauer \(T\) beobachten. Wenn du die Checkbox "Schwingungsdauer" anwählst, so wird nach einer Schwingung die Schwingungsdauer \(T\) eingeblendet.

Die Simulation macht folgende vereinfachende Annahmen:

  • Die Bewegung des Pendelkörpers und der Feder verläuft reibungsfrei.

  • Die Masse der Feder wird vernachlässigt.

Die folgenden Aufgaben führen dich systematisch durch die Untersuchung der Abhängigkeit der Schwingungsdauer \(T\) eines Federpendels von den relevanten Parametern.

1. Teilversuch: Untersuchung der Abhängigkeit der Schwingungsdauer \(T\) von der Anfangsauslenkung \(x_0\)

Im ersten Teilversuch verändern wir die Anfangsauslenkung \(x_0\) und beobachten die Schwingungsdauer \(T\).

Beobachtung
Aufgabe

Wähle für die Masse \(m\) des Pendelkörpers und die Federkonstante \(D\) beliebige Werte, verändere die Anfangsauslenkung \(x_0\) und beobachte die Schwingungsdauer \(T\).

Formuliere deine Beobachtung und ein Versuchsergebnis.

Lösung

Mn kann beobachten, dass die Schwingungsdauer \(T\) unabhängig von den Werten der anderen Parameter für alle Werte der Anfangsauslenkung \(x_0\) den gleichen Wert.

Daraus kann man als Versuchsergebnis schließen, dass die Schwingungsdauer \(T\) unabhängig von der Anfangsauslenkung \(x_0\) ist.

2. Teilversuch: Untersuchung der Abhängigkeit der Schwingungsdauer \(T\) von der Masse \(m\)

Im zweiten Teilversuch halten wir die Federkonstante \(D\) konstant, verändern die Masse \(m\) und beobachten die Schwingungsdauer \(T\).

Beobachtung
Aufgabe

Halte \(D = 1{,}00\,\frac{\rm{N}}{\rm{m}}\) konstant.

Vervollständige mit Hilfe der Simulation die folgende Wertetabelle.

Tab. 1a Wertetabelle ohne Messwerte
\(m\) in \(\rm{kg}\) \(0{,}20\) \(0{,}30\) \(0{,}40\) \(0{,}50\) \(0{,}60\) \(0{,}70\) \(0{,}80\)
\(T\) in \(\rm{s}\)              

Lösung

Tab. 1b Wertetabelle mit Messwerten
\(m\) in \(\rm{kg}\) \(0{,}20\) \(0{,}30\) \(0{,}40\) \(0{,}50\) \(0{,}60\) \(0{,}70\) \(0{,}80\)
\(T\) in \(\rm{s}\) \(2{,}81\) \(3{,}44\) \(3{,}97\) \(4{,}44\) \(4{,}87\) \(5{,}26\) \(5{,}62\)
Auswertung
Aufgabe

Stelle die Messwerte in einem \(l\)-\(T\)-Diagramm dar.

Werte das Diagram aus.

Lösung

Joachim Herz Stiftung
Abb. 2 Darstellung der Messwerte in einem \(m\)-\(T\)-Diagramm. Zusätzlich eingezeichnet ist die durch Potenzregression bestimmte Ausgleichskurve.

Das Diagramm in Abb. 2 lässt vermuten, dass bei konstantem \(D\) die Schwingungsdauer \(T\) entsprechend einer Potenzfunktion mit positivem Exponenten \(<1\) von der Masse \(m\) abhängt. Eine Potenzregression liefert als Funktionsgleichung der Ausgleichskurve im Rahmen der Messgenauigkeit\[T = 6{,}3\,\frac{\rm{s}}{\sqrt{\rm{kg}}} \cdot m^{0{,}50}\]mit dem Bestimmtheitsmaß\[r^2 = 0{,}9999 \approx 1\]Damit erhalten wir mit \(m^{0{,}50}=m^{\frac{1}{2}}=\sqrt{m}\) als Ergebnis des 1. Teilversuchs\[T \sim \sqrt{m}\]bei konstantem \(m\).

3. Teilversuch: Untersuchung der Abhängigkeit der Schwingungsdauer \(T\) von der Federkonstante \(D\)

Im dritten Teilversuch halten wir die Masse \(m\) konstant, verändern die Federkonstante \(D\) und beobachten die Schwingungsdauer \(T\).

Beobachtung
Aufgabe

Halte \(m=0{,}50\,\rm{kg}\) konstant.

Vervollständige mit Hilfe der Simulation die folgende Wertetabelle.

Tab. 2a Wertetabelle ohne Messwerte
\(D\) in \(\frac{\rm{N}}{\rm{m}}\) \(0{,}40\) \(0{,}60\) \(0{,}80\) \(1{,}00\) \(1{,}20\) \(1{,}40\) \(1{,}60\)
\(T\) in \(\rm{s}\)              

Lösung

Tab. 2b Wertetabelle mit Messwerten
\(D\) in \(\frac{\rm{N}}{\rm{m}}\) \(0{,}40\) \(0{,}60\) \(0{,}80\) \(1{,}00\) \(1{,}20\) \(1{,}40\) \(1{,}60\)
\(T\) in \(\rm{s}\) \(7{,}02\) \(5{,}74\) \(4{,}97\) \(4{,}44\) \(4{,}06\) \(3{,}75\) \(3{,}51\)
Auswertung
Aufgabe

Stelle die Messwerte in einem \(g\)-\(T\)-Diagramm dar.

Werte das Diagram aus.

Lösung

Joachim Herz Stiftung
Abb. 3 Darstellung der Messwerte in einem \(D\)-\(T\)-Diagramm. Zusätzlich eingezeichnet ist die durch Potenzregression bestimmte Ausgleichskurve.

Das Diagramm in Abb. 3 lässt vermuten, dass bei konstantem \(m\) die Schwingungsdauer \(T\) entsprechend einer Potenzfunktion mit negativem Exponenten von der Federkonstante \(D\) abhängt. Eine Potenzregression liefert als Funktionsgleichung der Ausgleichskurve im Rahmen der Messgenauigkeit\[T = 4{,}4\,\sqrt{\rm{kg}} \cdot D^{-0{,}50}\]mit dem Bestimmtheitsmaß\[r^2 = 0{,}9999 \approx 1\]Damit erhalten wir mit \(D^{-0{,}50}=D^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{D}}\)als Ergebnis des 2. Teilversuchs\[T \sim \frac{1}{\sqrt{D}}\]bei konstantem \(m\).

Zusammenfassung der Ergebnisse der drei Teilversuche

  • Aus dem 1. Teilversuch ergibt sich, dass \(T\) unabhängig von der Anfangsauslenkung \(x_0\) ist.
  • Aus dem 2. Teilversuch ergibt sich \(T \sim \sqrt{\,m\,}\) bei konstantem \(D\).
  • Aus dem 3. Teilversuch ergibt sich \(T \sim \frac{1}{\sqrt{\,D\,}}\) bei konstantem \(m\).

Zusammengefasst ergibt sich\[T \sim \sqrt{\,m\,} \cdot \frac{1}{\sqrt{\,D\,}} = \frac{\sqrt{\,m\,}}{\sqrt{\,D\,}} = \sqrt{\frac{m}{D}} \; {\rm{oder}} \; T= k \cdot \sqrt{\frac{m}{D}}\]

Nun muss noch der Wert des Proportionalitätsfaktors \(k\) bestimmt werden.

Auswertung
Aufgabe

Vervollständige mit Hilfe der Simulation die folgende Wertetabelle.

Tab. 3a Wertetabelle ohne Werte
\(m\) in \(\rm{kg}\) \(0{,}20\) \(0{,}50\) \(0{,}80\) \(0{,}50\) \(\) \(0{,}50\)
\(D\) in \(\frac{\rm{N}}{\rm{m}}\) \(1{,}00\) \(1{,}00\) \(1{,}00\) \(\) \(0{,}60\) \(0{,}40\)
\(\sqrt{\frac{m}{D}}\) in \(\rm{s}\) \(0{,}447\) \(0{,}707\) \(\) \(0{,}791\) \(0{,}913\) \(\)
\(T\) in \(\rm{s}\) \(2{,}81\) \(\) \(5{,}62\) \(4{,}97\) \(5{,}74\) \(\)

Bestimme mit Hilfe eines \(\sqrt{\frac{m}{D}}\) in \(\rm{s}\)-\(T\)-Diagramms und dessen Auswertung den Wert des Proportionalitätsfaktors \(k\).

Lösung

Aus dem bisherigen Ergebnis \(T = k \cdot \sqrt{\frac{l}{g}}\) schließen wir, wie wir den Faktor \(k\) bestimmen können: Wir tragen \(T\) gegen \(\sqrt{\frac{l}{g}}\) in einem Diagramm auf und bestimmen durch Lineare Regression den Steigungsfaktor der Geraden.

Tab. 3b Wertetabelle mit Werten
\(m\) in \(\rm{kg}\) \(0{,}20\) \(0{,}50\) \(0{,}80\) \(0{,}50\) \(0{,}50\) \(0{,}50\)
\(D\) in \(\frac{\rm{N}}{\rm{m}}\) \(1{,}00\) \(1{,}00\) \(1{,}00\) \(0{,}80\) \(0{,}60\) \(0{,}40\)
\(\sqrt{\frac{m}{D}}\) in \(\rm{s}\) \(0{,}447\) \(0{,}707\) \(0{,}894\) \(0{,}791\) \(0{,}913\) \(1{,}12\)
\(T\) in \(\rm{s}\) \(2{,}81\) \(4{,}44\) \(5{,}62\) \(4{,}97\) \(5{,}74\) \(7{,}02\)
Joachim Herz Stiftung
Abb. 4 \(\sqrt{\frac{m}{D}}\)-\(T\)-Diagramm. Zusätzlich eingezeichnet ist die durch Lineare Regression bestimmte Ausgleichsgerade.

Das Diagramm in Abb. 4 zeigt wie erwartet, dass die Schwingungsdauer \(T\) proportional zum Quotienten \(\sqrt{\frac{m}{D}}\) ist. Eine Lineare Regression liefert als Funktionsgleichung der Ausgleichsgerade im Rahmen der Messgenauigkeit\[T = 6{,}28 \cdot \sqrt{\frac{m}{D}}\]mit dem Bestimmtheitsmaß\[R^2 = 0{,}9999 \approx 1\]Damit erhalten wir als Ergebnis\[k =6{,}28\]Der Wert \(6{,}28\) für den Proportionalitätsfaktor \(k\) ist im Rahmen der Messgenauigkeit gleich dem Wert \(2 \cdot \pi = 6{,}283...\). Theoretische Überlegungen zeigen, dass der Proportionalitätsfaktor tatsächlich den Wert \(2 \cdot \pi\) hat.

Damit erhalten wir als Ergebnis\[T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{m}{D}}\]

Ergebnis

Ein Federpendel mit einem Pendelkörper der Masse \(m\) und einer Feder mit der Federkonstante \(D\) schwingt.

Dann ist die Schwingungsdauer \(T\)

  • unabhängig von der Anfangsauslenkung \(x_0\)
  • proportional zur Wurzel der Masse \(m\)
  • umgekehrt proportional zur Wurzel der Federkonstante \(D\)

und berechnet sich durch\[T = 2 \cdot \pi  \cdot \sqrt {\frac{m}{D}} \]