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Aufgabe

Schwingungsdauer eines Federpendels - Formelumstellung

Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe

Um Aufgaben zur Schwingungsdauer eines Federpendels zu lösen musst du häufig die Gleichung \(T = 2 \cdot \pi  \cdot \sqrt {\frac{m}{D}} \) nach einer Größe auflösen, die unbekannt ist. Wie du das machen kannst, siehst du in der folgenden Animation.

Die Gleichung\[{\color{Red}{T}} = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{{m}}{{D}}}\]ist bereits nach \({\color{Red}{T}}\) aufgelöst. Du brauchst also keine Umformungen durchzuführen.
Um die Gleichung\[{T} = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{{\color{Red}{m}}}{{D}}}\]nach \({\color{Red}{m}}\) aufzulösen, musst du vier Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{{\color{Red}{m}}}{{D}}}={T}\]
Quadriere beide Seiten der Gleichung.
\[4 \cdot \pi^2 \cdot \frac{{\color{Red}{m}}}{{D}}={T}^2\]
Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit \({D}\).\[4 \cdot \pi^2 \cdot {\color{Red}{m}}={T}^2 \cdot {D}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \(4 \cdot \pi^2\).\[{\color{Red}{m}}=\frac{{T}^2 \cdot {D}}{4 \cdot \pi^2}\]Die Gleichung ist nach \({\color{Red}{m}}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[{T} = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{{m}}{{\color{Red}{D}}}}\]nach \({\color{Red}{D}}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Quadriere beide Seiten der Gleichung.
\[{T}^2 = 4 \cdot \pi^2 \cdot \frac{{m}}{{\color{Red}{D}}}\]
Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit \({\color{Red}{D}}\).
\[{T}^2 \cdot {\color{Red}{D}} = 4 \cdot \pi^2 \cdot {m}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({T}^2\).\[{\color{Red}{D}} = \frac{4 \cdot \pi^2 \cdot {m}}{{T}^2}\]Die Gleichung ist nach \({\color{Red}{D}}\) aufgelöst.
Abb. 1 Schrittweises Auflösen der Formel für die Schwingungsdauer eines Federpendels nach den drei in der Formel auftretenden Größen
a)

An einer horizontal beweglichen Schraubenfeder mit der Federkonstante \(2{,}10\,\frac{\rm{N}}{\rm{m}}\) befindet sich ein Körper mit der Masse \(75{,}0\,\rm{g}\).

Berechne die Schwingungsdauer dieses Federpendels.

b)

Eine Schraubenfeder, die horizontal befestigt ist, hat die Federkonstante \(10{,}0\,\frac{\rm{N}}{\rm{m}}\). An der Feder wird ein Körper befestigt, dessen Masse so gewählt ist, dass das Federpendel eine Schwingungsdauer von \(1{,}50\,\rm{s}\) hat.

Berechne die Masse des Körpers.

c)

Ein Körper mit der Masse \(300\,\rm{g}\) ist an einer horizontal beweglichen Schraubenfeder befestigt. Er führt Schwingungen aus, die Schwingungsdauer beträgt \(1{,}56\,\rm{s}\).

Berechne die Federkonstante der Schraubenfeder.

Lösung einblendenLösung verstecken Lösung einblendenLösung verstecken
a)

Mit \(m=75{,}0\,\rm{g}=0{,}0750\,\rm{kg}\) und \(D=2{,}10\,\frac{\rm{N}}{\rm{m}}\) nutzen wir die Formel für die Schwingungsdauer eines Federpendels\[T = 2 \cdot \pi  \cdot \sqrt {\frac{m}{D}} \]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[T = 2 \cdot \pi  \cdot \sqrt {\frac{0{,}0750\,\rm{kg}}{2{,}10\,\frac{\rm{N}}{\rm{m}}}} = 1{,}19\,\rm{s}\]

b)

Mit \(T=1{,}50\,\rm{s}\) und \(D=10{,}0\,\frac{\rm{N}}{\rm{m}}\) erhalten wir mit der Formel für die Schwingungsdauer eines Federpendels\[T = 2 \cdot \pi  \cdot \sqrt {\frac{m}{D}}  \Rightarrow m = \frac{{{T^2} \cdot D}}{{4 \cdot {\pi ^2}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[l = \frac{{{{\left( {1{,}50\,{\rm{s}}} \right)}^2} \cdot 10{,}0\,\frac{{\rm{N}}}{{{{\rm{kg}}}}}}}{{4 \cdot {\pi ^2}}} = 0{,}570\,{\rm{kg}}\]

 

c)

Mit \(T=1{,}56\,\rm{s}\) und \(m=300\,\rm{g}=0{,}300\,\rm{kg}\) erhalten wir mit der Formel für die Schwingungsdauer eines Federpendels\[T = 2 \cdot \pi  \cdot \sqrt {\frac{m}{D}}  \Rightarrow D = \frac{{4 \cdot {\pi ^2} \cdot m}}{{{T^2}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[D = \frac{4 \cdot \pi^2 \cdot 0{,}300\,\rm{kg}}{{{{\left( {1{,}56\,{\rm{s}}} \right)}^2}}} = 4{,}87\,\frac{\rm{N}}{\rm{kg}}\]

 

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Mechanische Schwingungen