Mechanische Schwingungen

1. Fall: \(\omega _0^2 > {\delta ^2}\) (Schwingfall)

Bestätige, dass im Fall \(\omega _0^2 > {\delta ^2}\) die Funktion\[x(t) = {x_0} \cdot \left( {\cos \left( {\omega \cdot t} \right) + \frac{\delta }{\omega } \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)} \right)\cdot {e^{ - \delta \cdot t}} \quad {\rm{mit}} \quad \omega = \sqrt {\omega _0^2 - {\delta ^2}}\]eine Lösung der Differentialgleichung \((***)\) ist.

Bestätige weiter, dass diese Funktion auch die Anfangsbedingungen \(x(0) = {x_0}\) und \( \dot x(0) = v(0)= 0 \) erfüllt.

Im Grundwissen wurde gesagt, dass in vielen Fällen die obige Lösung durch eine einfachere Funktion angenähert werden kann.

Bestätige, dass auch die Funktion\[x(t) = {x_0} \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right) \cdot {e^{ - \delta \cdot t}} \quad {\rm{mit}} \quad \omega = \sqrt {\omega _0^2 - {\delta ^2}}\]eine Lösung der Differentialgleichung \((***)\) ist.

Bestätige weiter, dass diese Funktion die Anfangsbedingungen \(x(0) = {x_0}\) und \( \dot x(0) = v(0) = -\delta \cdot x_0 \) erfüllt.

Erläutere, in welchen Fällen die einfachere Funktion die korrekte Funktion gut nähert.

2. Fall: \(\omega _0^2 = {\delta ^2}\) (Aperiodischer Grenzfall)

Bestätige, dass im Fall \(\omega _0^2 = {\delta ^2}\) die Funktion\[x(t) = \left( {{x_0} + \delta \cdot {x_0} \cdot t} \right) \cdot {e^{ - \delta \cdot t}}\]eine Lösung der Differentialgleichung \((***)\) ist.

Bestätige weiter, dass diese Funktion auch die Anfangsbedingungen \(x(0) = {x_0}\) und \( \dot x(0) = v(0)= 0 \) erfüllt.

3. Fall: \(\omega _0^2 < {\delta ^2}\) (Kriechfall)

Bestätige, dass im Fall \(\omega _0^2 < {\delta ^2}\) die Funktion\[x(t) = {x_0} \cdot \frac{1}{{2 \cdot \lambda }}\left( {\left( {\lambda + \delta } \right) \cdot {e^{\lambda \cdot t}} + \left( {\lambda - \delta } \right) \cdot {e^{ - \lambda \cdot t}}} \right) \cdot {e^{ - \delta \cdot t}} \quad {\rm{mit}} \quad \lambda = \sqrt {{\delta ^2} - \omega _0^2}\]eine Lösung der Differentialgleichung \((***)\) ist.

Bestätige weiter, dass diese Funktion auch die Anfangsbedingungen \(x(0) = {x_0}\) und \( \dot x(0) = v(0)= 0 \) erfüllt.