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Aufgabe

Lösung der Differentialgleichung des gedämpften Federpendels

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Im Grundwissen haben wir hergeleitet, dass die Bewegung eines gedämpften Federpendels durch die Differentialgleichung\[\ddot x(t) +\frac{k}{m} \cdot \dot x(t) + \frac{D}{m} \cdot x(t) = 0\quad (***)\]beschrieben wird. Die Theorie der Differentialgleichungen besagt nun, dass es für verschiedene Werte der Parameter \(m\), \(D\) und \(k\) verschiedene Lösungsfunktionen gibt.

Dass die Lösungsfunktion, die im Grundwissen angegeben wurden, korrekt sind sollst du in dieser Aufgabe nachvollziehen. Dabei kann dir ein Computeralgebrasystem wie z.B. GeoGebra CAS gute Dienste leisten. Mit wenigen Befehlen kannst du die Rechnungen online selbst durchführen.

Wir setzen zuerst \(\omega _0 = \sqrt {\frac{D}{m}} \), \(\delta = \frac{k}{2 \cdot m}\). Damit unterscheiden wir drei Fälle.

a)1. Fall: \(\omega _0^2 > {\delta ^2}\) (Schwingfall)

Bestätige, dass im Fall \(\omega _0^2 > {\delta ^2}\) die Funktion\[x(t) = {x_0} \cdot \left( {\cos \left( {\omega \cdot t} \right) + \frac{\delta }{\omega } \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)} \right)\cdot {e^{ - \delta \cdot t}} \quad {\rm{mit}} \quad \omega = \sqrt {\omega _0^2 - {\delta ^2}}\]eine Lösung der Differentialgleichung \((***)\) ist.

Bestätige weiter, dass diese Funktion auch die Anfangsbedingungen \(x(0) = {x_0}\) und \( \dot x(0) = v(0)= 0 \) erfüllt.

Im Grundwissen wurde gesagt, dass in vielen Fällen die obige Lösung durch eine einfachere Funktion angenähert werden kann.

Bestätige, dass auch die Funktion\[x(t) = {x_0} \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right) \cdot {e^{ - \delta \cdot t}} \quad {\rm{mit}} \quad \omega = \sqrt {\omega _0^2 - {\delta ^2}}\]eine Lösung der Differentialgleichung \((***)\) ist.

Bestätige weiter, dass diese Funktion die Anfangsbedingungen \(x(0) = {x_0}\) und \( \dot x(0) = v(0) = -\delta \cdot x_0 \) erfüllt.

Erläutere, in welchen Fällen die einfachere Funktion die korrekte Funktion gut nähert.

b)2. Fall: \(\omega _0^2 = {\delta ^2}\) (Aperiodischer Grenzfall)

Bestätige, dass im Fall \(\omega _0^2 = {\delta ^2}\) die Funktion\[x(t) = \left( {{x_0} + \delta \cdot {x_0} \cdot t} \right) \cdot {e^{ - \delta \cdot t}}\]eine Lösung der Differentialgleichung \((***)\) ist.

Bestätige weiter, dass diese Funktion auch die Anfangsbedingungen \(x(0) = {x_0}\) und \( \dot x(0) = v(0)= 0 \) erfüllt.

c)3. Fall: \(\omega _0^2 < {\delta ^2}\) (Kriechfall)

Bestätige, dass im Fall \(\omega _0^2 < {\delta ^2}\) die Funktion\[x(t) = {x_0} \cdot \frac{1}{{2 \cdot \lambda }}\left( {\left( {\lambda + \delta } \right) \cdot {e^{\lambda \cdot t}} + \left( {\lambda - \delta } \right) \cdot {e^{ - \lambda \cdot t}}} \right) \cdot {e^{ - \delta \cdot t}} \quad {\rm{mit}} \quad \lambda = \sqrt {{\delta ^2} - \omega _0^2}\]eine Lösung der Differentialgleichung \((***)\) ist.

Bestätige weiter, dass diese Funktion auch die Anfangsbedingungen \(x(0) = {x_0}\) und \( \dot x(0) = v(0)= 0 \) erfüllt.

Lösung einblendenLösung verstecken Lösung einblendenLösung verstecken

a)Die Lösung der ersten beiden Aufgabenstellungen mit GeoGebra findest du hier.

Die Lösung der nächsten beiden Aufgabenstellungen mit GeoGebra findest du hier.

Die einfachere Funktion nähert die korrekte Funktion um so besser, je kleiner die Dämpfung \(k\) und je kleiner die Anfangsauslenkung \(x_0\) ist.

b)Die Lösung der Aufgabe mit GeoGebra findest du hier.

c)Die Lösung der Aufgabe mit GeoGebra findest du hier.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Mechanische Schwingungen