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Aufgabe

Pendeluhr im Aufzug

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Im Münchner Olympiaturm führt ein Aufzug zum Drehrestaurant. Einer der Aufzugführer war ein Uhrenfan und brachte eine schöne Pendeluhr mit Sekundenpendel im Aufzug an. Die Bewegung des Aufzugs wird durch das unten angegebene \(t\)-\(v\)-Diagramm beschrieben.

a)Bestimmen Sie aus dem Diagramm die Beschleunigung des Aufzugs beim Anfahren und Abbremsen und die Fahrtlänge des Aufzugs.

b)Berechnen Sie, wie lang die Länge eines Pendels sein muss, damit die Schwingungsdauer \(T\) genau eine Sekunde ist. (Rechnen Sie wie mit einem idealisierten Fadenpendel und \({g_{{\text{München}}}} = 9,81\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\))

c)Berechnen Sie, wie groß die Schwingungsdauer des im Aufzug befindlichen Pendels in der Anfahrphase, in der Phase konstanter Geschwindigkeit und in der Abbremsphase ist.

d)Geben Sie eine Antwort und eine detaillierte Begründung zu der Frage, wie viel demnach die Uhr des Aufzugsführers bei einer Auffahrt falsch geht.

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a)Allgemein gilt
\[v = a \cdot t + {v_0} \Leftrightarrow a = \frac{{v - {v_0}}}{t}\]
Somit gilt für die Anfahrbeschleunigung
\[{a_A} = \frac{{7,2\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} - 0\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{6,0{\rm{s}}}} = 1,2\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\]
und für die Bremsbeschleunigung
\[{a_B} = \frac{{0\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} - 7,2\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{6,0{\rm{s}}}} =  - 1,2\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\]

Allgemein gilt für die beschleunigten Bewegungsphasen
\[s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \Delta {t^2} + {v_0} \cdot \Delta t\]
und für die gleichförmige Bewegungsphase
\[s = {v_0} \cdot \Delta t\]
Somit gilt
\[{s_1} = \frac{1}{2} \cdot {a_A} \cdot \Delta {t_1}^2 + {v_0,1} \cdot \Delta {t_1} \Rightarrow {s_1} = \frac{1}{2} \cdot 1,2\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot {\left( {6,0{\rm{s}}} \right)^2} + 0\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot 6,0{\rm{s}} = 21,6{\rm{m}}\]
\[{s_2} = {v_0,2} \cdot \Delta {t_2} \Rightarrow {s_2} = 7,2\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot 20,0{\rm{s}} = 144{\rm{m}}\]
\[{s_3} = \frac{1}{2} \cdot {a_B} \cdot \Delta {t_3}^2 + {v_0,3} \cdot \Delta {t_3} \Rightarrow {s_3} = \frac{1}{2} \cdot \left( { - 1,2\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}} \right) \cdot {\left( {6,0{\rm{s}}} \right)^2} + 7,2\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot 6,0{\rm{s}} = 21,6{\rm{m}}\]

Die Fahrhöhe beträgt somit \(21,6{\rm{m}} + 144{\rm{m}} + 21,6{\rm{m}} = 187,2{\rm{m}}\).

b)Für die Rücktreibende Kraft \(F_r\) gilt \(\frac{{{F_r}}}{{{F_G}}} = \sin \left( \alpha  \right)\), für die Auslenkung \(x\) gilt \(\frac{x}{l} = \tan \left( \alpha  \right)\). Für kleine Winkel mit \({\alpha  < 5^\circ }\) sind \(\sin \left( \alpha  \right)\) und \(\tan \left( \alpha  \right)\) praktisch gleich groß, so dass gilt (sogenannte "Kleinwinkelnäherung")
\[\frac{{{F_r}}}{{{F_G}}} = \frac{x}{l} \Leftrightarrow \frac{{{F_r}}}{x} = \frac{{{F_G}}}{l}\]
Für die Richtgröße \(D\) gilt dann
\[D = \frac{{{F_r}}}{x} = \frac{{m \cdot {g^*}}}{l}\]
Setzt man dies in die Gleichung \(T = 2 \cdot \pi  \cdot \sqrt {\frac{m}{D}} \) für die Schwingungszeit \(T\) der harmonischen Schwingung ein, so ergibt sich
\[T = 2 \cdot \pi  \cdot \sqrt {\frac{m}{{\frac{{m \cdot {g^*}}}{l}}}}  = 2 \cdot \pi  \cdot \sqrt {\frac{l}{{{g^*}}}}  \Leftrightarrow {T^2} = 4 \cdot {\pi ^2} \cdot \frac{l}{{{g^*}}} \Leftrightarrow l = \frac{{{T^2} \cdot {g^*}}}{{4 \cdot {\pi ^2}}}\]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[l = \frac{{{{\left( {1,0{\rm{s}}} \right)}^2} \cdot 9,81\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}}{{4 \cdot {\pi ^2}}} = 24,8{\rm{cm}}\]

c)In der Anfahrphase ist \({g^*} = g + a = 11,01\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\), daraus ergibt sich eine Schwingungsdauer für die Uhr von \[T_1 = 2 \cdot \pi  \cdot \sqrt {\frac{{0,248{\rm{m}}}}{{11,01\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}}}  = 0,94{\rm{s}}\]
Bei konstanter Geschwindigkeit ist \({g^*} = g\) und \(T_2 = 1,0\rm{s}\).
In der Bremsphase ist \({g^*} = g - a = 8,61\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\), daraus ergibt sich eine Schwingungsdauer für die Uhr von \[{T_3} = 2 \cdot \pi  \cdot \sqrt {\frac{{0,248{\rm{m}}}}{{8,61\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}}}  = 1,07{\rm{s}}\]

d)Beim Anfahren des Aufzugs nach oben tickt die Uhr schneller, sie geht in den 6 Sekunden um \(6,0{\rm{s}} \cdot \frac{{1,0{\rm{s}}}}{{0,94{\rm{s}}}} - 6,0{\rm{s}} = 0,38{\rm{s}}\) vor.

Während der konstanten Geschwindigkeit geht die Uhr genau.

Beim Abbremsen des Aufzugs oben tickt die Uhr langsamer, sie geht in den 6 Sekunden um \(6,0{\rm{s}} \cdot \frac{{1,0{\rm{s}}}}{{1,07{\rm{s}}}} - 6,0{\rm{s}} =  - 0,39{\rm{s}}\) nach.

Insgesamt geht die Uhr bei einer Fahrt um \(0,01\rm{s}\) nach.

Anmerkung 1: In gleicher Weise geht sie auch bei der Fahrt nach unten um \(0,01\rm{s}\) nach.
Anmerkung 2: Auch wenn man bei einer Rechnung ohne vorzeitiges Runden geringfügig andere Werte erhält, bleibt ein Unterschied.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Mechanische Schwingungen