Abb. 1
Tachometer eines Autos während einer Fahrt durch die Stadt
Der in der Animation in Abb. 1 dargestellte Tachometer zeigt den Geschwindigkeitsverlauf (in km/h) einer Fahrt eines Autos durch die Stadt an. Darüber hinaus wird die bei der Bewegung zurückgelegte Strecke in km registriert. Um den zeitlichen Verlauf von zurückgelegtem Weg x und der Geschwindigkeit v darstellen zu können, ist noch eine Stoppuhr eingeblendet.
Hinweis: Mit den Schaltern "vor" und "zurück" kannst du den Ablauf der Animation sehr langsam ablaufen lassen.
a)Skizziere mit Hilfe der Animation das Zeit-Geschwindigkeits-Diagramm für die Bewegung des Autos.
b)Skizziere mit Hilfe der Animation das Zeit-Orts-Diagramm für die Bewegung des Autos (hierfür ist einige Geduld notwendig).
c)In welchen Zeiträumen liegt eine annähernd gleichförmige Bewegung des Autos vor? Gib für diese Zeitintervalle die Geschwindigkeit des Autos in m/s an.
d)In welchen Zeiträumen wird das Auto beschleunigt bzw. verzögert? Begründe deine Antwort.
e)Beschreibe eine Autofahrt in Worten, die zu obigen Diagrammen führen könnte.
f)Die Leuchtdioden der Kilometeranzeige sind ausgefallen.
Wie könnte man nur aus der Kenntnis des zeitlichen Verlaufs der Geschwindigkeit (näherungsweise) auf den zurückgelegten Weg schließen?
g)Die Tachometernadel bei dem etwas baufälligen Auto sei abgebrochen.
Könnte man im Nachhinein aus dem zeitlichen Verlauf der zurückgelegten Strecke (näherungsweise) auf die Geschwindigkeit schließen?
c)Gleichförmige Bewegungen liegen in folgenden Zeitintervallen vor:
\(\left[ {10{\rm{s}}\;{\rm{;}}\;25{\rm{s}}} \right]\): Die Geschwindigkeit beträgt dabei konstant \(54\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}} = \frac{{54}}{{3,6}}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 15\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\).
\(\left[ {35{\rm{s}}\;{\rm{;}}\;40{\rm{s}}} \right]\): Die Geschwindigkeit beträgt dabei konstant \(36\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}} = \frac{{36}}{{3,6}}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 10\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\).
\(\left[ {85{\rm{s}}\;{\rm{;}}\;100{\rm{s}}} \right]\): Die Geschwindigkeit beträgt dabei konstant \(108\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}} = \frac{{108}}{{3,6}}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 30\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\).
Im Zeitintervall \(\left[ {60{\rm{s}}\;{\rm{;}}\;70{\rm{s}}} \right]\) ruht das Auto; die Geschwindigkeit beträgt dabei konstant \(0\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}} = 0\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\).
d)\(\left[ {0{\rm{s}}\;;\;10{\rm{s}}} \right]\): Das Auto wird - beginnend bei der Anfangsgeschwindigkeit \(0\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) - konstant auf die Geschwindigkeit \(15\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) beschleunigt.
\(\left[ {25{\rm{s}}\;;\;35{\rm{s}}} \right]\): Das Auto wird - beginnend bei der Anfangsgeschwindigkeit \(15\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) - konstant auf die Geschwindigkeit \(10\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) verzögert.
\(\left[ {70{\rm{s}}\;;\;85{\rm{s}}} \right]\): Das Auto wird - beginnend bei der Anfangsgeschwindigkeit \(0\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) konstant auf die Geschwindigkeit \(30\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) beschleunigt.
Hinweis: Man erkennt die Beschleunigungs- bzw. Verzögerungsphasen auch an den gebogenen Kurvenstücken im \(t\)-\(x\)-Diagramm.
e)Beispiel: Das Auto fährt aus dem Stand an und beschleunigt auf die Geschwindigkeit \(54\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\). Dann fährt es gleichförmig mit dieser Geschwindigkeit weiter. Da vor ihm ein langsameres Fahrzeug fährt, muss der Fahrer bremsen. Die Geschwindigkeit nimmt dabei gleichmäßig auf \(36\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\) ab. Mit dieser Geschwindigkeit fährt das Auto für \(5\rm{s}\). Dann schaltete eine Ampel auf rot und der Fahrer muss ziemlich scharf abbremsen. Nach einer "Rotphase" von \(10\rm{s}\) gelangt der Fahrer auf die Autobahn. Er beschleunigt aus dem Stand heraus konstant. Die Beschleunigung dauert solange, bis die Geschwindigkeit von \(108\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\) erreicht ist. Dann fährt das Auto mit dieser Geschwindigkeit auf der Autobahn weiter.
f)Ein annähernde Bestimmung des zurückgelegten Weges nur aus der Geschwindigkeits- und Zeitanzeige wäre wie folgt möglich:
Man wählt jeweils ein Zeitintervall aus (z.B. \(\left[ {0{\rm{s}}\;;\;1{\rm{s}}} \right]\), \(\left[ {1{\rm{s}}\;;\;2{\rm{s}}} \right]\), ...) und nimmt an, dass in jedem dieser Zeitintervalle eine gleichförmige Bewegung stattfindet. Als Wert für die konstante Geschwindigkeit wählt man einen Mittelwert der Geschwindigkeit in diesem Intervall aus. Das Produkt aus Zeitspanne (z.B. \({\Delta t = 1{\rm{s}}}\)) und Mittelwert der Geschwindigkeit \(v\) ergibt einen Näherungswert für den im betrachteten Zeitintervall zurückgelegten Weg (\({\Delta x = v \cdot \Delta t}\)). Addiert man alle Wegintervalle, die seit dem Start zurückgelegt wurden, so erhält man annhähernd den Kilometerstand.
Graphisch bedeutet die oben beschriebene Vorgehensweise die Flächenberechnung der blau markierten Rechtecke. Man sieht aus der Darstellung, dass die Fläche unter dem \(t\)-\(v\)-Graphen ein Maß für den zurückgelegten Weg ist.
g)
Ausschnitt aus dem \(t\)-\(x\)-Graphen von Teilaufgabe b)
Will man die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt wissen (z.B. bei \({t = 5{\rm{s}}}\)), so legt man um diesen Zeitpunkt ein Steigungsdreieck an den \(t\)-\(x\)-Graphen. Der Quotient aus \({\Delta x}\) (im Beispiel \(15\rm{m}\)) und \({\Delta t}\) (im Beispiel \(2,0\rm{s}\)) ergibt einen Näherungswert für die Geschwindigkeit in diesem Zeitintervall. \[v = \frac{{\Delta x}}{{\Delta t}} \Rightarrow v = \frac{{15{\rm{m}}}}{{2,0{\rm{s}}}} = 7,5\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 27\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\]Dieser Wert stimmt recht gut mit der Tachoanzeige bzw. mit dem aus dem \(t\)-\(v\)-Diagramm entnehmbaren Wert überein.
