a)Die Bremszeit des Schnellzugs sei \(t_B\); dann gilt
\[\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{{\Delta v}}{{\Delta t}} \Rightarrow a = \frac{{0\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} - {v_1}}}{{{t_B}}} = \frac{{ - {v_1}}}{{{t_B}}}}\\{{s_B} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot {t_B}^2 + {v_1} \cdot {t_B}}\end{array}} \right\} \Rightarrow {s_B} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{ - {v_1}}}{{{t_B}}} \cdot {t_B}^2 + {v_1} \cdot {t_B} = \frac{1}{2} \cdot {v_1} \cdot {t_B} \Leftrightarrow {t_B} = \frac{{2 \cdot {s_B}}}{{{v_1}}}\]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[{t_B} = \frac{{2 \cdot 4000{\rm{m}}}}{{\frac{{120}}{{3,6}}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}} = 240{\rm{s}} = 4{\rm{min}}\]
b)In der in Teilaufgabe a) berechneten Bremszeit \(t_B\) fährt der Güterzug die Strecke
\[{s_2} = {v_2} \cdot {t_B} \Rightarrow {s_B} = \frac{{40}}{{3,6}}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot 240{\rm{s}} \approx 2667{\rm{m}}\]
Damit ergibt sich
\[{s_2} + \Delta s \approx 3667{\rm{m}} < 4000{\rm{m}} = {s_1}\]
\(s_1\) und \(s_2+\Delta s\) sind nun also die Strecken, die die Züge in 4 Minuten zurückgelegt hätten (inklusive des Vorsprungs \(\Delta s\) vom Anfang), wenn sie auf unterschiedlichen Gleisen unterwegs gewesen wären. Da sich für den Schnellzug hier eine längere Strecke ergibt, muss es also zum Zusammenstoß gekommen sein.
c)Die Zeit bis zum Zusamenstoß sei \(t_S\); dann gilt
\[\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{{s_1} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot {t_S}^2 + {v_1} \cdot {t_S}}\\{a = \frac{{ - {v_1}}}{{{t_B}}}}\end{array}} \right\} \Rightarrow {s_1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{ - {v_1}}}{{{t_B}}} \cdot {t_S}^2 + {v_1} \cdot {t_S} \quad(1)\]
Weiter gilt
\[{s_1} = {s_2} + \Delta s = {v_2} \cdot {t_S} + \Delta s \quad(2)\]
Gleichsetzen der rechten Seiten von \((1)\) und \((2)\) ergibt
\[\frac{{ - {v_1}}}{{2 \cdot {t_B}}} \cdot {t_S}^2 + {v_1} \cdot {t_S} = {v_2} \cdot {t_S} + \Delta s \Leftrightarrow \frac{{{v_1}}}{{2 \cdot {t_B}}} \cdot {t_S}^2 + \left( {{v_2} - {v_1}} \right) \cdot {t_S} + \Delta s = 0\]
Diese Quadratische Gleichung für die Größe \(t_S\) hat die Lösungen
\[{t_{S;1/2}} = \frac{{ - \left( {{v_2} - {v_1}} \right) \pm \sqrt {{{\left( {{v_2} - {v_1}} \right)}^2} - 4 \cdot \frac{{{v_1}}}{{2 \cdot {t_B}}} \cdot \Delta s} }}{{2 \cdot \frac{{{v_1}}}{{2 \cdot {t_B}}}}} = \frac{{ - \left( {{v_2} - {v_1}} \right) \pm \sqrt {{{\left( {{v_2} - {v_1}} \right)}^2} - \frac{{2 \cdot {v_1} \cdot \Delta s}}{{{t_B}}}} }}{{\frac{{{v_1}}}{{{t_B}}}}}\]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[{t_{S;1/2}} = \frac{{\frac{{80}}{{3,6}}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \pm \sqrt {{{\left( {\frac{{80}}{{3,6}}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2} - \frac{{2 \cdot \frac{{120}}{{3,6}}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot 1000{\rm{m}}}}{{240{\rm{s}}}}} }}{{\frac{{\frac{{120}}{{3,6}}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{240{\rm{s}}}}}} \approx \frac{{22,2\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \pm 14,7\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{0,138{\rm{m}}}}\]
Die Lösung \({t_{S;1}} \approx 267,3{\rm{s}} > {t_B}\) ist physikalisch nicht sinnvoll, so dass sich als Lösung \({t_{S;2}} \approx 54,3{\rm{s}}\) ergibt; es kommt also nach ca. \(54,3{\rm{s}}\) zum Zusammenstoß.
Der Schnellzug legt in dieser Zeit dann die Strecke
\[{s_1} = {v_2} \cdot {t_S} + \Delta s \Rightarrow {s_1} = \frac{{40}}{{3,6}}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot 54,3{\rm{s}} + 1000{\rm{m}} = 1603{\rm{m}}\]
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