Magnetschwebebahnen wie der Transrapid können Spitzengeschwindigkeiten von ca. \(500\,\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\) erreichen. Ursprünglich in Deutschland entwickelt kommt eine solche Bahn aktuell lediglich auf einer Strecke in Shanghai zum Einsatz.
In der folgenden Abbildung ist das \(t\)-\(v\)-Diagramm eines aus sechs Sektionen bestehenden Transrapid dargestellt.
Abb. 1 \(t-v\)-Diagramm
a)
Berechnen Sie mit Hilfe des Diagramms, welche Strecke der Transrapid zurücklegt, bis er die Geschwindigkeit \(200\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\) erreicht hat.
b)
Schätzen Sie graphisch ab, welche Strecke der Transrapid zurückgelegt hat, bis er seine Höchstgeschwindigkeit von ca. \(500\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\) erreicht hat.
Im ersten Bewegungsabschnitt liegt in guter Näherung eine konstant beschleunigte Bewegung ohne Anfangsgeschwindigkeit vor.
Berechnung der Beschleunigung:
\[a = \frac{v}{t} \Rightarrow a = \frac{{\frac{{200}}{{3,6}}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{61,5{\rm{s}}}} = 0,903\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\]
Berechnung des zurückgelegten Weges:
\[s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot {t^2} \Rightarrow s = \frac{1}{2} \cdot 0,903\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot {\left( {61,5{\rm{s}}} \right)^2} \approx 1,7{\rm{km}}\]
b)
Abb. 2
Man berechnet zuerst den "Wert" eines Kästchens:
\[{\frac{{100}}{{3,6}}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot 25{\rm{s}} = 649{\rm{m}} = 0,694{\rm{km}}}\]
Dann schätzt man ab, wie viel Kästchen unter der Kurve liegen (vgl. Skizze) und erhalt ca. 33 Stück.
Somit hat der Transrapid bis zum Erreichen der Höchstgeschwindigkeit eine Strecke von \({33 \cdot 0,694{\rm{km}} \approx 23{\rm{km}}}\) zurückgelegt.
