Herr Schlaumeier (\({m_S} = 80\,{\rm{kg}}\)) fährt mit seinem Auto (\({m_A} = 920\,{\rm{kg}}\)) bei einer Geschwindigkeit \({\rm{54}}\,\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\) die Straße entlang. Da läuft in einer Entfernung von \(20\,{\rm{m}}\) eine Katze auf die Straße und bleibt aus Schreck vor dem nahenden Auto sitzen. Herr Schlaumeier steigt sofort auf die Bremse (hier soll die Reaktionszeit vernachlässigt werden) und erzeugt so eine konstante Bremskraft von \(6{,}0\,{\rm{kN}}\).
a)Entwirf eine schematische Skizze für die Lösung der folgenden Teilaufgaben, in der alle wichtigen Größen berücksichtigt sind.
b)Berechne (vorzeichenrichtig) die Beschleunigung des Autos bei diesem Bremsvorgang.
c)Stelle die Bewegungsgleichungen für den Bremsvorgang auf.
d)Berechne, wie lange das Bremsmanöver dauert.
e)Untersuche, ob Herr Schlaumeier mit seinem Auto noch rechtzeitig vor der Katze zum Stehen kommt.
b)Die Bremskraft zeigt in die negative x-Richtung und somit auch die Bremsbeschleunigung. Somit ist die Bremsbeschleunigung bei dem gewählten Koordinatensystem negativ zu zählen. \[ a = - \frac{F_{brems}}{m_{ges}} \Rightarrow a = - \frac{6{,}0 \cdot 10^3}{920 + 80}\, \mathrm{\frac{N}{kg}} = - 6{,}0\,\mathrm{\frac{m}{s^2}} \]
c)Zeit-Orts-Gesetz: \[ x(t) = v_0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 \quad \text{(1)} \] Zeit-Geschwindigkeits-Gesetz: \[ v(t) = v_0 + a \cdot t \quad \text{(2)} \] mit \( v_0 = 54\, \mathrm{\frac{km}{h}} = 15\,\mathrm{\frac{m}{s}} \) und \( a = -6{,}0\, \mathrm{\frac{m}{s^2}} \)
d)Berechnung der Bremszeit \(t_b\): Wenn das Auto steht, so ist \(v(t) = 0\); somit kann Gleichung (2) geschrieben werden: \[ 0 = v_0 + a \cdot t_b \quad \Rightarrow \quad t_b = - \frac{v_0}{a} \quad \Rightarrow \quad t_b = - \frac{15}{(-6{,}0)}\, \mathrm{\frac{\frac{m}{s}}{\frac{m}{s^2}}} = 2{,}5\,\mathrm{s} \]
e)Der Bremsweg kann mit Gleichung (1) und der in Teilaufgabe d) bestimmten Bremszeit berechnet werden: \[ x_b = v_0 \cdot t_b + \frac{a}{2} \cdot t_b^2 \quad \Rightarrow \quad x_b = 15 \cdot 2{,}5\,\mathrm{m} + \frac{(-6{,}0)}{2} \cdot (2,5)^2\, \mathrm{m} \approx 19 \,\mathrm{m} \] Somit gelingt es Herrn Schlaumeier noch vor der Katze zu stoppen, da \(x_b < x_k\) ist.
