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Aufgabe

Teufelsrad

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Das "Teufelsrad" - eher eine der Vergnügungen aus den Anfangszeiten der Technik. Wer selbst mitmacht, setzt sich auf eine drehende abschüssige Holzscheibe und versucht, dem mächtigen, über ihm schwingenden Box-Sack auszuweichen. Die anderen sind nur Zuschauer und johlen, wenn der letzte von diesem Sack so getroffen wird, dass er von der Drehscheibe fliegt.

Bei einer Umlaufdauer der Scheibe von \(T_1=4\,\rm{s}\) beginnt das Kind in einem Abstand von \(2\,\rm{m}\) von der Achse wegzurutschen.

a)Berechne, welche Umlaufdauer die Drehscheibe haben muss, damit ein Kind in einem Abstand von \(50\,\rm{cm}\) von der Achse zu rutschen beginnt.

b)Berechne die Haftreibungszahl \(\mu_{\rm{HR}}\) zwischen Kind und Teufelsrad.

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a)Das Kind beginnt zu rutschen, wenn die maximale Haftreibungskraft kleiner als die für die Kreisbahn notwendige Zentripetalkraft \(F_{\rm{ZP}}\) ist. Da die maximale Haftreibungskraft unabhängig vom Radius der Kreisbahn ist, gilt \[F_{\rm{ZP,1}}=m\cdot r_1\cdot {\omega_1}^2=m\cdot r_2\cdot{\omega_2}^2=F_{\rm{ZP,2}}\]Kürzen der Masse \(m\) und Einsetz von \(\omega=\frac{2\cdot\pi}{T}\) führt zu \[r_1\cdot \left(\frac{2\cdot\pi}{T_1}\right)^2=r_2\cdot \left(\frac{2\cdot\pi}{T_2}\right)^2\]\[\Leftrightarrow T_2=\sqrt{\frac{r_2}{r_1}}\cdot T_1\]Einsetzen und Ausrechnen ergibt\[T_2=\sqrt{\frac{0{,}5\,\rm{m}}{2\,\rm{m}}}\cdot 4\,\rm{s}=2\,\rm{s}\]

b)Das Kind kommt ins Rutschen, wenn die für die Kreisbahn notwendige Zentripetalkraft \(F_{\rm{ZP}}\) größer wird als die maximale Haftreibungskraft \(F_{\rm{HR,max}}\). Somit gilt \[F_{\rm{HR,max}}=\mu_{\rm{HR}}\cdot F_{\rm{N}}=m\cdot r \cdot\omega^2\] Mit \(\omega=\frac{2\cdot\pi}{T}\), \(F_{\rm{N}}=m\cdot g\), \(T=4\,\rm{s}\) und \(r=2\,\rm{m}\) folgt\[\mu_{\rm{HR}}\cdot m\cdot g=m\cdot r \left(\frac{2\cdot\pi}{T}\right)^2\]Kürzen der Masse \(m\), Einsetzen und Ausrechnen ergibt\[\mu_{\rm{HR}}=\frac{r}{g} \left(\frac{2\cdot\pi}{T}\right)^2\Rightarrow\mu_{\rm{HR}}=\frac{2\,\rm{m}}{9{,}81\,\rm{\frac{m}{s^2}}} \left(\frac{2\cdot\pi}{4\,\rm{s}}\right)^2=0{,}5\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Kreisbewegung