Um Bierfässer mit der Gewichtskraft \(1200\,\rm{N}\) auf die \(1{,}0\rm{m}\) hohe Ladefläche eines LKWs zu bringen, werden sie "kraftsparend" auf Bohlen hochgerollt. Der Fahrer kann aber höchstens eine Kraft von \(300\,\rm{N}\) zum Hochrollen aufbringen.
Berechne, wie lang die Bohlen sein müssen, damit der Fahrer die Fässer hochrollen kann.
Auf das Bierfass wirken ohne den Fahrer zwei Kräfte: Die Gewichtskraft \({\vec F_{\rm{G}}}\) (rot) und die Normalkraft \({\vec F_{\rm{N}}}\) der Ebene (blau), mit der diese dafür sorgt, dass das Bierfass nicht "durch die Ebene hindurch fällt". Als Summe dieser beiden Kräfte ergibt sich die resultierende Hangabtriebskraft \({\vec F_{\rm{HA}}}\) (grün) parallel zur Ebene, die vom Fahrer kompensiert werden muss, um das Fass hochzurollen, also höchstens \(300\,\rm{N}\) groß sein darf.
In Abb. 1 sind nun drei rechtwinklige Dreiecke zu erkennen, von denen jeweils eine Seite punktiert ist. Alle drei Dreiecke haben (neben dem rechten Winkel) an der "Spitze" einen gleichgroßen Winkel gemeinsam und sind deshalb ähnlich, d.h. das Verhältnis zweier Seitenlängen in einem Dreieck ist gleich dem Verhältnis der entsprechenden Seitenlängen im anderen Dreieck. Somit gilt\[\frac{l}{{1{,}0\,{\rm{m}}}} = \frac{{{F_{\rm{G}}}}}{{{F_{{\rm{H}}}}}} \Leftrightarrow l = 1{,}0\,{\rm{m}} \cdot \frac{{{F_{\rm{G}}}}}{{{F_{{\rm{H}}}}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[l = 1{,}0\,{\rm{m}} \cdot \frac{{1200\,{\rm{N}}}}{{300\,{\rm{N}}}} = 4{,}0\,{\rm{m}}\]
Alternative Lösung mittels Kräftezerlegung:
Zuerst muss die Gewichtskraft \({\vec F_{\rm{G}}}\) (rot) in zwei Komponenten zerlegt werden: Zum einen in ihre Normalenkomponente \({\vec F_{\rm{G,\bot}}}\), mit der das Bierfass auf die Unterlage, also die Bohlen wirkt und zum anderen in die parellel zur Ebene zeigende Hangabtriebskraft \({\vec F_{\rm{G,\parallel}}}\) bzw. \({\vec F_{\rm{H}}}\) (grün), die vom Fahrer kompensiert werden muss, um das Fass hochzurollen, also höchstens \(300\,\rm{N}\) groß sein darf. Auch hier entsteht ein rechtwinkliges Dreieck, welches ähnlich zu den oben genannten ist.
