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Aufgabe

Bierwagen

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

bierwagen-aufgabe-bild.gif
Abb. 1 Skizze zur Aufgabe

Um Bierfässer mit der Gewichtskraft \(1200\,\rm{N}\) auf die \(1{,}0\rm{m}\) hohe Ladefläche eines LKWs zu bringen, werden sie "kraftsparend" auf Bohlen hochgerollt. Der Fahrer kann aber höchstens eine Kraft von \(300\,\rm{N}\) zum Hochrollen aufbringen.

Berechne, wie lang die Bohlen sein müssen, damit der Fahrer die Fässer hochrollen kann.

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bierwagen-loesung-bild.svg
Abb. 2 Skizze zur Lösung

Zuerst muss die Gewichtskraft \({\vec F_{\rm{G}}}\) (rot) in zwei Komponenten zerlegt werden: Zum einen die Normalkraft \({\vec F_{\rm{N}}}\) (blau), mit der das Bierfass auf die Unterlage, also die Bohlen wirkt und zum anderen die Hangabtriebskraft \({\vec F_{\rm{HA}}}\) (grün), die vom Fahrer kompensiert werden muss, um das Fass hochzurollen, also höchstens \(300\,\rm{N}\) groß sein darf.

In Abb. 1 sind nun zwei rechtwinklige Dreiecke zu erkennen, von denen jeweils eine Seite punktiert ist. Diese beiden Dreiecke haben (neben dem rechten Winkel) an der "Spitze" einen gleichgroßen Winkel gemeinsam und sind deshalb ähnlich, d.h. das Verhältnis zweier Seitenlängen in einem Dreieck ist gleich dem Verhältnis der entsprechenden Seitenlängen im anderen Dreieck. Somit gilt\[\frac{l}{{1{,}0\,{\rm{m}}}} = \frac{{{F_{\rm{G}}}}}{{{F_{{\rm{HA}}}}}} \Leftrightarrow l = 1{,}0\,{\rm{m}} \cdot \frac{{{F_{\rm{G}}}}}{{{F_{{\rm{HA}}}}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[l = 1{,}0\,{\rm{m}} \cdot \frac{{1200\,{\rm{N}}}}{{300\,{\rm{N}}}} = 4{,}0\,{\rm{m}}\]