Der Jet d’eau (franz. Wasserstrahl) ist ein Springbrunnen im Genfer See mit einem bis zu \(140\rm{m}\) hohen Wasserstrahl. Er ist eines der Wahrzeichen der Stadt Genf.
a)
Berechne die Geschwindigkeit \(v_0\) (in \(\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\)), mit der das Wasser aus der Düse strömen würde, wenn keine mechanische Energie verloren ginge.
b)
Berechne die Geschwindigkeit \(v_1\) (ebenfalls in \(\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\)) des Wassers in halber Höhe.
c)
Erläutere, warum der tatsächliche Wert mit ca. \(200\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\) für \(v_0\) über dem berechneten liegt.
d)
Berechne. welche Höhe die Fontäne erreichen würde, wenn \(v_0\) nur halb so groß wie der in Aufgabenteil a) berechnete Wert wäre.
e)
Die Anlage stößt pro Sekunde \(500\ell \) Liter Seewasser aus und wird von zwei Pumpen mit einer Gesamtleistung von ca. \(1000\rm{kW}\) betrieben.
Die Maximalhöhe von \(h_{\rm{max}}=140\rm{m}\) wird erreicht, wenn die kinetische Energie zu Beginn vollständig in potentielle Energie umgewandelt ist. Die Anfangsgeschwindigkeit ergibt sich dann durch
\[{E_{{\rm{kin}}}} = {E_{{\rm{pot}}}} \Leftrightarrow \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v_0}^2 = m \cdot g \cdot {h_{{\rm{max}}}} \Rightarrow {v_0} = \sqrt {2 \cdot g \cdot {h_{{\rm{max}}}}} \]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[{v_0} = \sqrt {2 \cdot 9,81\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 140{\rm{m}}} = 52,4\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 52,4 \cdot 3,6\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}} = 189\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\]
b)
Auf der halben Höhe von \(h_1=70\rm{m}\) ist die kinetische Energie zu Beginn teilweise in potentielle Energie umgewandelt worden und der Rest noch in kinetischer Energie vorhanden. Die Geschwindigkeit \(v_1\) ergibt sich nun durch
\[\frac{1}{2} \cdot m \cdot {v_0}^2 = \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v_1}^2 + m \cdot g \cdot {h_1} \Leftrightarrow {v_1}^2 = {v_0}^2 - 2 \cdot g \cdot {h_1} \Rightarrow {v_1} = \sqrt {{v_0}^2 - 2 \cdot g \cdot {h_1}} \]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[{v_1} = \sqrt {{{\left( {52,4{\mkern 1mu} \frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2} - 2 \cdot 9,81\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 70{\rm{m}}} = 37{\mkern 1mu} \frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 37 \cdot 3,6\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}} = 133\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\]
c)
Die Höhe von \(h_{\rm{max}}=140\rm{m}\) wird mit den oben gerechneten Parametern nur unter Idealbedingungen erreicht. In der Realität werden Wind und andere Einflüsse dafür sorgen, dass trotz der höheren Ausgangsgeschwindigkeit ebenfalls keine Höhen über \(140\rm{m}\) möglich sind.
d)
Dadurch, dass die Geschwindigkeit quadratisch in die Gleichung (vgl. Aufgabenteil a)) eingeht, sorgt eine Halbierung dafür, dass nur noch ein Viertel der ursprünglichen Höhe erreicht wird, also \(35\rm{m}\). Noch einmal konkret gerechnet ergibt sich
\[\frac{1}{2} \cdot m \cdot {\left( {\frac{{{v_0}}}{2}} \right)^2} = m \cdot g \cdot {h_2} \Leftrightarrow {h_2} = \frac{{{v_0}^2}}{{8 \cdot g}} \Rightarrow {h_2} = \frac{{{{\left( {52,4{\mkern 1mu} \frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}}}{{8 \cdot 9,81\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}} = 35{\mkern 1mu} {\rm{m}}\]
e)
Die notwendige Pumpleistung \(P\) ergibt sich aus der kinetischen Energie, die das Wasser beim Ausstoßen besitzt
\[P = \frac{{{E_{{\rm{kin}}}}}}{t} = \frac{{\frac{1}{2} \cdot m \cdot {v_0}^2}}{t} \Rightarrow P = \frac{{\frac{1}{2} \cdot 500{\rm{kg}} \cdot {{\left( {52,4{\mkern 1mu} \frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}}}{{1{\rm{s}}}} = 686{\rm{kW}}\]
Die Leistung der Anlage ist also mehr als ausreichend.
