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Grundwissen

Energie und Energieerhaltungssatz

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Mechanische Energie kann in verschiedenen Formen vorliegen, z.B. in Form von Lageenergie oder in Form von kinetischer Energie.

Die Einheit der Energie ist das Joule: \(\left[ E \right] = 1\text{J}=1\frac{\text{kg}\cdot \text{m}^2}{\text{s}^2}\).

Bekannte Energieformen

Lageenergie (potentielle Energie) \[{E_{pot}} = m \cdot g \cdot h\]
Bewegungsenergie (kinetische Energie) \[{E_{kin}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v^2}\]
Spannenergie \[{E_{spann}} = \frac{1}{2} \cdot D \cdot {s^2}\]

Der Energieerhaltungssatz der Mechanik

Der Energieerhaltungssatz der Mechanik, manchmal kurz auch einfach nur Energiesatz genannt, gilt für abgeschlossene Systeme in denen Reibungsfreiheit angenommen wird. Abgeschlossen bedeutet, dass keine Kräfte von außen auf die Bestandteile des Systems einwirken und dass kein Energieeaustausch mit der Umgebung stattfindet. Der Energieerhaltungssatz besagt, dass die gesamte mechanische Energie eines solchen abgeschlossenen, reibungsfreien Systems erhalten bleibt.

Energieerhaltungssatz

In einem abgeschlossenen System bleibt bei Reibungsfreiheit die gesamte mechanische Energie erhalten. Die verschiedenen Energieformen können sich lediglich ineinander umwandeln.

Dieser Satz kann auch - mehr formal - in eine Gleichung gefasst werden. Geht ein abgeschlossenes System von einem Zustand 1 reibungsfrei in einen Zustand 2 über, so gilt stets:

\[m \cdot g \cdot {h_1} + \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v_1}^2 + \frac{1}{2} \cdot D \cdot {s_1}^2 = m \cdot g \cdot {h_2} + \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v_2}^2 + \frac{1}{2} \cdot D \cdot {s_2}^2\]

Hinweis:
Bei den von uns betrachteten Problemen ändern sich meist nur zwei Energieformen, so dass die Gleichung dadurch einfacher geschrieben werden kann. Außerdem kann durch geeignete Wahl des Koordinatensystems erreicht werden, dass die potentielle Energie in einem der beiden Zustände Null ist (vgl. z.B. die Aufgabe zum Fadenpendel).

Beispiel: Fadenpendel

Die beiden Formen "Lageenergie" und "kinetische Energie" wandeln sich bei fehlender Reibung fortwährend ineinander um.

Abb. 1 Zeitlicher Verlauf von kinetischer, potenzieller und gesamter Energie bei einem schwingenden Fadenpendel

 

Beispiel für Energiebetrachtungen in offenen und geschlossenen Systemen


In der Definition des Energiesatzes wurde bereits angemerkt, dass er nur für geschlossene Systeme gilt. Heißt das, dass der Energieerhaltungssatz nicht universell gültig ist? Das folgende Beispiel vom freien Fall eines Körpers zeigt, dass der Energiesatz zwar universell gültig ist, aber seine Anwendbarkeit von der Wahl der Grenzen des Systems abhängt.   

 

Abb. 2. Ein körper wird durch eine äußere Kraft beschleunigt. Am System wird daher von außen Arbeit verrichtet.

Zunächst betrachten wir ein System bestehend aus einem einzelnen Körper, der durch eine äußere Kraft beschleunigt wird. Die Ursache der Kraft wird zunächst nicht betrachtet, sie liegt außerhalb des gewählten Systems. Es handelt sich daher um ein nicht abgeschlossenes System.
Die äußere Krafteinwirkung führt in dieser Sichtweise zu einer Zunahme der kinetischen Energie des Systems:


\[\Delta E_{gesamt}= \Delta E_{kin}= F\cdot \Delta s=\frac{1}{2}m\cdot\left(v_1^2-v_2^2\right)\].


In dieser Betrachtung ist also $\Delta E_{gesamt}$ größer als Null, da von außen Energie zugeführt wurde. Der Energiesatz kann in diesem System also nicht angewendet werden.

 

 

 

Abb. 3: Alle Kräfte wirken innerhalb des Systems, das System ist abgeschlossen.

Erweitert man das betrachtete System dagegen so, dass auch die ursächliche Kraft als Bestandteil des Systems gilt, erhält man hier ein abgeschlossenes System. Im Beispiel entsteht die Kraft auf den Körper durch die Gravitation der Erde. Die Erde wirkt mit der Kraft $\vec{F_{k,e}}$ auf den Körper. Umgekehrt übt auch der Körper eine gegengleiche Kraft $\vec{F_{e,k}}$ auf die Erde aus. Es wirken keine weiteren äußeren Kräfte auf das System Erde-Körper ein. Aus dieser Perspektive lässt sich die Erhöhung der kinetischen Energie des Körpers als Verringerung der potentiellen Energie des Systems Erde/Körper verstehen:

\[\Delta E_{kin} =\frac{1}{2}m\cdot \left(v_1^2-v_2^2\right)= F_g\cdot\Delta s = -m\cdot g\cdot\left(h_1-h_2\right)=-\Delta E_{pot}.\]

Oder kurz:
\[\Delta E_{ges}= \Delta E_{kin}+\Delta E_{pot} = 0.\]

 

In diesem System lässt sich der Energiesatz also anwenden.

 

 

 

 

Dass die Gesamtenergie des Systems im zweiten Fall erhalten bleibt, lässt sich auch konkret berechnen. Mit Hilfe der Formeln kann die untenstehende Tabelle ausgefüllt werden:

\[x=\frac{1}{2}\cdot g\cdot t^2\]

\[v=g\cdot t\]

\[h=h_1-x\]

Außerdem wird für g näherungsweise 10 m/s2 verwendet.

\(t\rm{\;in\;s}\) \(x\rm{\;in\;m}\) \(v\;{\rm{in}}\;\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) \(\frac{1}{2} \cdot m \cdot {v^2}\;{\rm{in}}\;{\rm{J}}\) \(h\rm{\;in\;m}\) \(m \cdot g \cdot h\;{\rm{in}}\;{\rm{J}}\) \(\frac{1}{2} \cdot m \cdot {v^2} + m \cdot g \cdot h\;{\rm{in}}\;{\rm{J}}\)
\(0\) \(0\) \(0\) \(0\) \(45\) \(1800\) \(1800\)
\(1\) \(5\) \(10\) \(200\) \(40\) \(1600\) \(1800\)
\(2\) \(20\) \(20\) \(800\) \(25\) \(1000\) \(1800\)
\(3\) \(45\) \(30\) \(1800\) \(0\) \(0\) \(1800\)

Aus der Tabelle ist ersichtlich, dass die gesamtenergie \(E = m \cdot g \cdot h + \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v^2}\) eine Erhaltungsgröße ist.

 

Verständnisaufgabe

Fadenpendel

Wenn das Pendel in der Anfangsstellung ist, hat es die Höhe \(h=10\rm{cm}\) über dem tiefsten Punkt.

Berechne die Geschwindigkeit, die das Pendel im tiefsten Punkt hat, wenn die Reibung vernachlässigbar ist.

Gib eine qualitative Erklärung dafür, dass das Zeit-Energie-Diagramm nicht den nebenstehenden Verlauf hat.

Lösung

Zur Lösung verwendet man den Energiesatz (als Höhenbezugspunkt wählt man den tiefsten Punkt): Die Gesamtenergie in Punkt 1 (größte Auslenkung) ist gleich der Gesamtenergie im Punkt 2 (tiefster Punkt). Da in diesem Fall keine Spannenergie beteiligt ist, gilt somit

\[E_{pot,1}+E_{kin,1}=E_{pot,2}+E_{kin,2}\]

\[\Leftrightarrow m\cdot g\cdot h+0=0+\frac{1}{2}m\cdot v_2^2\]

\[\Rightarrow v_2=\sqrt{2\cdot g\cdot h}\]

 

Einsetzen der gegebenen Werte liefert:

 

\[v_2=\sqrt{2\cdot 9,81\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\cdot 0,1\text{m}}=1,4\frac{\text{m}}{\text{s}}\]

 

Das Pendel ist zunächst in Ruhe und wird dann immer schneller, das heißt zu Beginn der Bewegung verliert es pro zeiteinheit weniger an Höhe als später. Daher kann kein linearer Verlauf der Energie mit der Zeit vorliegen.

 

 

 

Federpendel

Eine Kugel der Masse \(100\rm{g}\) ist an einer horizontal liegenden Feder der Härte \({5,00\frac{{\rm{N}}}{{\rm{cm}}}}\) befestigt. Feder und Kugel bewegen sich reibungsfrei auf der Unterlage. Die Kugel wird um \(\Delta x = 6,0{\rm{cm}}\) ausgelenkt und dann losgelassen.

Berechne die maximale Geschwindigkeit \(v_{\rm{max}}\) der Kugel.

Lösung

Zur Lösung verwendet man wieder den Energiesatz. Die Gesamtenergie in Punkt 1 (größte Auslenkung) ist gleich der Gesamtenergie im Punkt 2 (Feder entspannt). Da in diesem Fall keine Höhenänderungen stattfinden und deshalb die Lageenergie nicht beteiligt ist, gilt somit

\[E_{spann,1}+E_{kin,1}=E_{spann,2}+E_{kin,2}\]

\[\Leftrightarrow \frac{1}{2}\cdot D\cdot (\Delta x)^2+0=0+\frac{1}{2}\cdot m \cdot v_2^2\]

\[\Rightarrow v_2=\Delta x\cdot \sqrt{\frac{D}{m}}\]

 

Einsetzen der gegebenen Werte liefert

\[v_{max}=v_2=0,060\text{m}\cdot\sqrt{\frac{500\}frac{\text{N}}{\text{m}}}{0,100\text{kg}}}=4,3\frac{\text{m}}{\text{s}}\]

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