Die Simulation "Gravitationslabor" veranschaulicht die Gravitationskraft zwischen zwei Körpern in Abhängigkeit von den relevanten Größen. Sie ermöglicht dir die selbstständige Erarbeitung des Gravitationsgesetztes, das Isaac NEWTON (1642 - 1726) in seinem 1687 erschienenen Werk Philosophiae Naturalis Principia Mathematica zum ersten Mal formuliert hat.
In der Simulation siehst du zwei Körper, deren Massen \(m_1\) und \(m_2\) du in gewissen Grenzen verändern kannst. Ebenfalls kannst du den Abstand der Mittelpunkte der beiden Körper - wir bezeichnen ihn mit \(r\) - verändern, indem du die Körper horizontal bewegst. Das Lineal ist ebenfalls beweglich, mit ihm kannst du diesen Abstand messen.
Die beiden kleinen Figuren und die Kraftpfeile deuten an, wie groß die Gravitationskraft zwischen den beiden Körpern ist. Den Betrag \({F_{\rm{G}}}\) der Gravitationskraft kannst du dir mit der Checkbox "Werte anzeigen" anzeigen lassen. Schließlich lässt sich mit der Checkbox "Konstanter Radius" noch einstellen, ob sich die Größen der Körper ändern soll, wenn sich ihre Massen verändern.
Aufgabe
Verändere in der Simulation die Massen \(m_1\) und \(m_2\) der beiden Körper sowie den Abstand \(r\) der Mittelpunkte der beiden Körper und beobachte den Betrag \(F_{\rm{G}}\) der Gravitationskraft.
Formuliere deine Beobachtungen in Form von "Je größer ..., desto ..." - Sätzen.
Aufgabe
Abhängigkeit des Betrags \(F_{\rm{G}}\) der Gravitationskraft von der Masse \(m_1\)
Halte den Abstand \(r\) der Mittelpunkte der beiden Massen auf dem Wert \(5{,}0\,\rm{m}\) und die Masse \(m_2\) auf dem Wert \(500\,\rm{kg}\) fest.
Verändere die Masse \(m_1\) und beobachte den Betrag \(F_{\rm{G}}\) der Gravitationskraft.
Halte die verschiedenen Werte von \(m_1\) und \(F_{\rm{G}}\) in einer Tabelle fest.
Trage anschließend die Wertepaare in einem \(m_1\)-\(F_{\rm{G}}\)-Diagramm auf.
Gib an, auf welchem Graphen sich die Wertepaare befinden, welcher Funktionstyp zu diesem Graphen gehört und wie der zugehörige Funktionsterm allgemein aussieht.
Werte dieses \(m_1\)-\(F_{\rm{G}}\)-Diagramm aus, d.h. bestimme den Funktionsterm, der hier den Zusammenhang zwischen \(m_1\) und \(F_{\rm{G}}\) beschreibt.
Abhängigkeit des Betrags \(F_{\rm{G}}\) der Gravitationskraft von der Masse \(m_2\)
Halte den Abstand \(r\) der Mittelpunkte der beiden Massen auf dem Wert \(5\,\rm{m}\) und die Masse \(m_1\) auf dem Wert \(500\,\rm{kg}\) fest.
Verändere die Masse \(m_2\) und beobachte den Betrag \(F_{\rm{G}}\) der Gravitationskraft.
Halte die verschiedenen Werte von \(m_2\) und \(F_{\rm{G}}\) in einer Tabelle fest.
Trage anschließend die Wertepaare in einem \(m_2\)-\(F_{\rm{G}}\)-Diagramm auf.
Gib an, auf welchem Graphen sich die Wertepaare befinden, welcher Funktionstyp zu diesem Graphen gehört und wie der zugehörige Funktionsterm allgemein aussieht.
Werte dieses \(m_2\)-\(F_{\rm{G}}\)-Diagramm aus, d.h. bestimme den Funktionsterm, der hier den Zusammenhang zwischen \(m_2\) und \(F_{\rm{G}}\) beschreibt.
Abhängigkeit des Betrags \(F_{\rm{G}}\) der Gravitationskraft vom Abstand \(r\)
Halte die Massen \(m_1\) und \(m_2\) jeweils auf dem Wert \(500\,\rm{kg}\) fest.
Verändere den Abstand \(r\) und beobachte den Betrag \(F_{\rm{G}}\) der Gravitationskraft.
Halte die verschiedenen Werte von \(r\) und \(F_{\rm{G}}\) in einer Tabelle fest.
Trage anschließend die Wertepaare in einem \(r\)-\(F_{\rm{G}}\)-Diagramm auf.
Stelle anhand dieses Diagramms eine Vermutung über den Zusammenhang zwischen dem Abstand \(r\) und dem Betrag \(F_{\rm{G}}\) der Gravitationskraft auf. Gib möglichst auch einen passenden Funktionsterm an.
Linearisierung des \(r\)-\(F_{\rm{G}}\)-Diagramms
Man kann zeigen (vgl. die weiter unten stehende Aufgabe für Experten), dass der Betrag \(F_{\rm{G}}\) der Gravitationskraft umgekehrt quadratisch (d.h. wie \(y\left( x \right) \sim \frac{1}{{{x^2}}}\)) vom Abstand \(r\) abhängt. Von dieser Tatsache kannst du im weiteren Verlauf der Auswertung ausgehen, um das \(r\)-\(F_{\rm{G}}\)-Diagramm zu linearisieren.
Ergänze dazu die zweite Zeile der folgenden Wertetabelle.
| \(r\;\rm{in}\;\rm{m}\) | \(1{,}5\) | \(2{,}0\) | \(3{,}0\) | \(4{,}0\) | \(5{,}0\) | \(6{,}0\) | \(7{,}0\) | \(8{,}0\) | \(9{,}0\) | \(10{,}0\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\frac{1}{r^2}\;\rm{in}\;\frac{1}{\rm{m}^2}\) | \( \) | \( \) | \( \) | \( \) | \( \) | \( \) | \( \) | \( \) | \( \) | \( \) |
| \(F_{\rm{G}}\;\rm{in}\;10^{-7}\rm{N}\) | \(74{,}2\) | \(41{,}7\) | \(18{,}5\) | \(10{,}4\) | \(6{,}67\) | \(4{,}63\) | \(3{,}41\) | \(2{,}61\) | \(2{,}06\) | \(1{,}67\) |
Trage anschließend die Wertepaare der zweiten und dritten Zeile der Tabelle in einem \(\frac{1}{r^2}\)-\(F_{\rm{G}}\)-Diagramm auf.
Werte dieses \(\frac{1}{r^2}\)-\(F_{\rm{G}}\)-Diagramm aus, d.h. bestimme den Funktionsterm, der hier den Zusammenhang zwischen \(r\) und \(F_{\rm{G}}\) beschreibt.
Abhängigkeit des Betrags \(F_{\rm{G}}\) der Gravitationskraft den den Massen \(m_1\) und \(m_2\) und dem Abstand \(r\)
Stelle mit Hilfe der bisherigen Ergebnisse einen Term auf, der die Abhängigkeit des Betrags \(F_{\rm{G}}\) der Gravitationskraft von den Massen \(m_1\) und \(m_2\) sowie dem Abstand \(r\) beschreibt (Tipp: Multiplikation der Einzelterme). Bezeichne die Konstante, die in diesem Term nötig ist, mit dem Formelbuchstaben \(G\).
Bestimmung des Wertes der Gravitationskonstante \(G\)
Die im oben angegeben Term nötige, aber noch nicht bekannte Konstante bezeichnet man als Gravitationskonstante \(G\). Diese können wir aber mit den bisher gewonnen Werten bestimmen.
Ergänze die vierte Zeile der folgenden Wertetabelle.
| \(m_1\;\rm{in}\;\rm{kg}\) | \(300\) | \(600\) | \(900\) | \(500\) | \(500\) | \(500\) | \(500\) | \(500\) | \(500\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(m_2\;\rm{in}\;\rm{kg}\) | \(500\) | \(500\) | \(500\) | \(200\) | \(500\) | \(1000\) | \(500\) | \(500\) | \(500\) |
| \(r\;\rm{in}\;\rm{m}\) | \(5{,}0\) | \(5{,}0\) | \(5{,}0\) | \(5{,}0\) | \(5{,}0\) | \(5{,}0\) | \(3{,}0\) | \(7{,}0\) | \(9{,}0\) |
| \(\frac{m_1 \cdot m_2}{r^2}\;\rm{in}\;\frac{\rm{kg}^2}{\rm{m}^2}\) | \( \) | \( \) | \( \) | \( \) | \( \) | \( \) | \( \) | \( \) | \( \) |
| \(F_{\rm{G}}\;\rm{in}\;10^{-7}\rm{N}\) | \(4{,}00\) | \(8{,}01\) | \(12{,}0\) | \(2{,}67\) | \(6{,}67\) | \(13{,}4\) | \(18{,}5\) | \(3{,}41\) | \(2{,}06\) |
Trage anschließend die Wertepaare der vierten und fünften Zeile der Tabelle in einem \(\frac{m_1 \cdot m_2}{r^2}\)-\(F_{\rm{G}}\)-Diagramm auf.
Werte dieses \(\frac{m_1 \cdot m_2}{r^2}\)-\(F_{\rm{G}}\)-Diagramm aus, d.h. bestimme den Funktionsterm, der allgemein den Zusammenhang zwischen \(m_1\), \(m_2\), \(r\) und \(F_{\rm{G}}\) beschreibt.
In der oben stehende Aufgabe haben wir bei der Auswertung des \(r\)-\(F_{\rm{G}}\)-Diagramms vorausgesetzt, dass der Betrag \(F_{\rm{G}}\) der Gravitationskraft umgekehrt quadratisch (d.h. wie \(y\left( x \right) \sim \frac{1}{{{x^2}}}\)) vom Abstand \(r\) abhängt.
Durch ein besonderes Auswertungsverfahren, die sogenannte doppelt-logarithmische Auftragung der Werte, kann man auch ohne diese Voraussetzung zu den gleichen Ergebnissen wie oben kommen. Dieses Verfahren kannst du in der folgenden Aufgabe durchführen.
Aufgabe
Aufgabe für Experten: Untersuchung der Abhängigkeit des Betrags \(F_{\rm{G}}\) der Gravitationskraft vom Abstand \(r\) durch doppelt-logarithmische Auftragung
Wenn wir davon ausgehen, dass der Betrag \(F_{\rm{G}}\) der Gravitationskraft vom Abstand \(r\) durch eine Potenzfunktion mit reellem Exponenten (d.h. wie \(y(x) \sim {x^\alpha }\;\rm{mit}\;\alpha \in \mathbb{R}\)) abhängt, so kann man den Exponent \(\alpha\) sowie den Proportionalitätsfaktor \(C\) durch doppelt-logarithmische Auftragung der Wertepaare bestimmen.
Wir setzen an mit \(x: = \frac{r}{{\rm{m}}}\) und \(y: = \frac{{{F_{\rm{G}}}}}{{{{10}^{ - 7}}{\rm{N}}}}\) und erhalten so den Ansatz\[y = C \cdot {x^\alpha }\]Wenden wir auf beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus an und nutzen die Logarithmengesetze aus, so erhalten wir\[\ln \left( y \right) = \ln \left( {C \cdot {x^\alpha }} \right) = \ln \left( C \right) + \alpha \cdot \ln \left( x \right)\]Dies bedeutet, dass bei einer Auftragung von \(\ln \left( y \right)\) gegen \(\ln \left( x \right)\) der gesuchte Exponent die Steigung und der \(\ln \left( C \right)\) der Ordinatenabschitt einer Gerade sein sollten. Um diesen Ansatz durchzuführen musst du also folgende Arbeitsaufträge bearbeiten.
Ergänze die zweite und die vierte Zeile der folgenden Wertetabelle.
| \(r\;\rm{in}\;\rm{m}\) | \(1{,}5\) | \(2{,}0\) | \(3{,}0\) | \(4{,}0\) | \(5{,}0\) | \(6{,}0\) | \(7{,}0\) | \(8{,}0\) | \(9{,}0\) | \(10{,}0\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\ln \left( \frac{r}{\rm{m}} \right)\) | \( \) | \( \) | \( \) | \( \) | \( \) | \( \) | \( \) | \( \) | \( \) | \( \) |
| \(F_{\rm{G}}\;\rm{in}\;10^{-7}\rm{N}\) | \(74{,}2\) | \(41{,}7\) | \(18{,}5\) | \(10{,}4\) | \(6{,}67\) | \(4{,}63\) | \(3{,}41\) | \(2{,}61\) | \(2{,}06\) | \(1{,}67\) |
| \(\ln \left( \frac{F_{\rm{G}}}{{10}^{ - 7}{\rm{N}}} \right)\) | \( \) | \( \) | \( \) | \( \) | \( \) | \( \) | \( \) | \( \) | \( \) | \( \) |
Trage anschließend die Wertepaare der zweiten und vierten Zeile der Tabelle in einem \(\ln \left( \frac{r}{\rm{m}} \right)\)-\(\ln \left( \frac{F_{\rm{G}}}{{10}^{ - 7}{\rm{N}}} \right)\)-Diagramm auf.
Werte dieses \(\ln \left( \frac{r}{\rm{m}} \right)\)-\(\ln \left( \frac{F_{\rm{G}}}{{10}^{ - 7}{\rm{N}}} \right)\)-Diagramm aus, d.h. bestimme den Funktionsterm, der hier den Zusammenhang zwischen \(r\) und \(F_{\rm{G}}\) beschreibt.