Ein Körper wird vom Boden aus mit einer Anfangsgeschwindigkeit von \({20\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}\) nach oben geworfen und bewegt sich dann frei, d.h. allein unter dem Einfluss der Erdanziehungskraft und ohne Berücksichtigung von Reibungskräften. Rechne die folgenden Aufgaben mit \(g = 10\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\).
a)
Berechne die Höhe \(y_1\) des Körpers zum Zeitpunkt \(t_1 = 1\rm{s}\).
b)
Berechne den Zeitpunkt \({t_2}\), zu dem sich der Körper in der Höhe \({y_2} = 5{\rm{m}}\) befindet. Leite hierzu zuerst einen allgemeinen Term her.
c)
Berechne die Wurfzeit \({t_{\rm{W}}}\) des Körpers, d.h. die Zeitspanne vom Loswerfen des Körpers bis zu seinem Auftreffen auf dem Boden. Leite hierzu zuerst einen allgemeinen Term her.
d)
Berechne die Geschwindigkeit \({v_{y1}}\) des Körpers zum Zeitpunkt \({t_1} = 1{\rm{s}}\).
e)
Berechnen den Zeitpunkt \({t_3}\), zu dem der Körper eine Geschwindigkeit von \({v_{y3}} =-10\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) besitzt. Leite hierzu zuerst einen allgemeinen Term her.
f)
Berechne die Geschwindigkeit \({v_{y\rm{W}}}\) des Körpers beim Aufprall auf den Boden.
g)
Berechne die Steigzeit \({t_{\rm{S}}}\) und die Steighöhe \({y_{\rm{S}}}\) des Körpers. Leite hierzu zuerst allgemeine Term her.
Wir wählen die Orientierung der Ortsachse nach oben.
a)
Die Höhe \({y_{\rm{1}}}\) des Körpers zum Zeitpunkt \({t_1} = 1{\rm{s}}\) erhält man, indem man diesen Zeitpunkt in das Zeit-Orts-Gesetz \(y(t) = {v_{y0}} \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2}\) einsetzt. Damit ergibt sich
\[{y_{\rm{1}}} = y\left( {{t_1}} \right) = {v_{y0}} \cdot {t_1} - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t_1}^2 \Rightarrow {y_{\rm{1}}} = 20\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot 1{\rm{s}} - \frac{1}{2} \cdot 10\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot {\left( {1{\rm{s}}} \right)^2} = 15{\rm{m}}\]
Der Körper befindet sich also nach \(1{\rm{s}}\) in einer Höhe von \(15{\rm{m}}\).
b)
Den Zeitpunkt \({t_2}\), zu dem sich der Körper in der Höhe \({y_2} = 5{\rm{m}}\) befindet, erhält man, indem man das Zeit-Orts-Gesetz \(y(t) = {v_{y0}} \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2}\) nach der Zeit \(t\) auflöst; es ergibt sich die Quadratische Gleichung, die mithilfe der Mitternachtsformel gelöst werden kann
\[y = {v_{y0}} \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2} \Leftrightarrow \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2} - {v_{y0}} \cdot t + y = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{{v_{y0}} - \sqrt {{v_{y0}}^2 - 2 \cdot g \cdot y} }}{g} \vee t = \frac{{{v_{y0}} + \sqrt {{v_{y0}}^2 - 2 \cdot g \cdot y} }}{g}\]
wobei hier aus physikalischen Gründen beide Lösungen relevant sind. Setzt man dann in die sich ergebenden Terme die Höhe \({y_2} = 5{\rm{m}}\) ein, so ergibt sich
\[{t_{2,1}} = \frac{{20\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} - \sqrt {{{\left( {20\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2} - 2 \cdot 10\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 5{\rm{m}}} }}{{10\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}} \approx 0,3{\rm{s}}\]
und
\[{t_{2,2}} = \frac{{20\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} + \sqrt {{{\left( {20\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2} - 2 \cdot 10\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 5{\rm{m}}} }}{{10\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}} \approx 3,7{\rm{s}}\]
Der Körper befindet sich also in einer Höhe von \(5{\rm{m}}\) nach \(0,3{\rm{s}}\) (beim Aufsteigen) und nach \(3,7{\rm{s}}\) (beim Absteigen).
c)
Die Wurfzeit \({t_{\rm{W}}}\) ist die Zeitspanne vom Loswerfen des Körpers bis zum Zeitpunkt, zu dem sich der Körper wieder auf der Höhe \({y_{\rm{W}}} = 0{\rm{m}}\) befindet. Man setzt also im Zeit-Orts-Gesetz \(y(t) = {v_{y0}} \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2}\) für \(y(t) = 0{\rm{m}}\) ein und löst dann nach der Zeit \(t\) auf; es ergibt sich die Quadratische Gleichung
\[0 = {v_{y0}} \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2} \Leftrightarrow \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2} - {v_{y0}} \cdot t = 0 \Leftrightarrow t \cdot \left( {\frac{1}{2} \cdot g \cdot t - {v_{y0}}} \right) = 0 \Leftrightarrow t = 0 \vee t = \frac{{2 \cdot {v_{y0}}}}{g}\]
wobei hier aus physikalischen Gründen die zweite Lösung relevant ist. Setzt man in den sich ergebenden Term die gegebenen Größen ein, so ergibt sich
\[{t_{\rm{W}}} = \frac{{2 \cdot 20\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{10\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}} = 4,0{\rm{s}}\]
Die Wurfzeit des Körpers beträgt also \(4,0{\rm{s}}\).
d)
Die Geschwindigkeit \({v_{y1}}\) des Körpers zum Zeitpunkt \({t_1} = 1{\rm{s}}\) erhält man, indem man diesen Zeitpunkt in das Zeit-Geschwindigkeits-Gesetz \({v_y}(t) ={v_{y0}} - g \cdot t\) einsetzt. Damit ergibt sich
\[{v_{y1}} = {v_y}({t_1}) = {v_{y0}} - g \cdot {t_1} \Rightarrow {v_{y1}} = 20\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} - 10\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 1{\rm{s}} = 10\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]
Der Körper hat also nach \(1{\rm{s}}\) eine Geschwindigkeit von \(10\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\).
e)
Den Zeitpunkt \({t_3}\), zu dem der Körper eine Geschwindigkeit von \({v_{y3}} =-10\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) besitzt, erhält man, indem man das Zeit-Geschwindigkeits-Gesetz \({v_y}(t) ={v_{y0}}-g \cdot t\) nach der Zeit \(t\) auflöst
\[{v_y} = {v_{y0}} - g \cdot t \Leftrightarrow {v_y} - {v_{y0}} = - g \cdot t \Leftrightarrow t = \frac{{{v_{y0}} - {v_y}}}{g}\]
und dann in den sich ergebenden Term die Geschwindigkeit \({v_{y3}} =-10\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) einsetzt. Damit ergibt sich
\[{t_3} = \frac{{20\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} - \left( { - 10\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}}{{10\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}} = 3,0{\rm{s}}\]
Der Körper hat also eine Geschwindigkeit von \(-10\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) nach \(3,0{\rm{s}}\).
f)
Die Geschwindigkeit \({v_{y\rm{W}}}\) des Körpers beim Aufprall auf den Boden erhält man, indem man die Wurfzeit \({t_{\rm{W}}}\) aus Aufgabenteil c) in das Zeit-Geschwindigkeits-Gesetz \({v_y}(t) ={v_{y0}}-g \cdot t\) einsetzt. Damit ergibt sich
\[{v_{y{\rm{W}}}} = {v_y}({t_{\rm{W}}}) = {v_{y0}} - g \cdot {t_{\rm{W}}} \Rightarrow {v_{y{\rm{W}}}} = 20\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} - 10\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 4,0{\rm{s}} =- 20\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]
Der Körper hat also beim Aufprall auf den Boden eine Geschwindigkeit von \(-20\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\).
g)
Die Steigzeit \({t_{\rm{S}}}\) berechnet man mit Hilfe der Tatsache, dass am höchsten Punkt der Bahn des Körpers die Geschwindigkeit des Körpers \(0\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) ist. Man setzt also im Zeit-Geschwindigkeits-Gesetz \({v_y}(t) ={v_{y0}}-g \cdot t\) für \(v_y = 0\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) ein und löst dann nach der Zeit \(t\) auf; es ergibt sich die Gleichung
\[0 = {v_{y0}} - g \cdot {t_{\rm{S}}} \Leftrightarrow - {v_{y0}} = - g \cdot {t_{\rm{S}}} \Leftrightarrow {t_{\rm{S}}} = \frac{{{v_{y0}}}}{g}\]
Den Term für die Steigzeit setzt man nun in das Zeit-Orts-Gesetz \(y(t) = {v_{y0}} \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2}\) ein und erhält
\[{y_{\rm{S}}} = y({t_{\rm{S}}}) = {v_{y0}} \cdot \left( {\frac{{{v_{y0}}}}{g}} \right) - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {\left( {\frac{{{v_{y0}}}}{g}} \right)^2} = \frac{{v_{y0}^2}}{g} - \frac{1}{2} \cdot \frac{{v_{y0}^2}}{g} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{v_{y0}^2}}{g}\]
Einsetzten der gegebenen Werte liefert dann
\[{t_{\rm{S}}} = \frac{{20\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{10\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}} = 2{\rm{s}}\]
und
\[{y_{\rm{S}}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{{{\left( {20\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}}}{{10\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}} = 20{\rm{m}}\]
