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Grundwissen

Arbeit als Energietransfer

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Energie, die mit Hilfe einer Kraft \(\vec F\) längs eines Weges \(\vec s\) zugeführt wird, heißt Arbeit \(W\).
  • Wird an einem System Arbeit verrichtet, so ist \(W>0\), verrichtet ein System Arbeit, so ist \(W<0\).
  • Wird Arbeit unter einem Winkel \(\alpha\) verrichtet, so gilt \(W = |\vec F| \cdot |\vec s| \cdot \cos \left( \alpha \right)\).
Aufgaben Aufgaben

Ein System kann nicht mehr als abgeschlossen betrachtet werden, wenn ihm z.B. von außen Energie zugeführt wird. Deshalb treffen wir folgende Definition:

Energie, die mit Hilfe einer Kraft \(\vec F\) längs eines Weges \(\vec s\) zugeführt wird, heißt Arbeit W.

An einem System wird Arbeit verrichtet oder ein System verrichtet Arbeit

Wird an einem System von außen mechanische Arbeit verrichtet, so steigt die Energie des Systems an. Man sagt zur Arbeit auch "Energietransfer". Es gilt\[\left| W \right| = \left| {\Delta E} \right|\]Verrichtet ein System dagegen Arbeit (nach außen), so nimmt die Energie des Systems ab. Auch hier gilt\[\left| W \right| = \left| {\Delta E} \right|\]

Abb. 1 Veränderung \(\Delta E\) der Energie von Systemen, wenn an ihnen Arbeit \(W\) verrichtet wird (links) oder sie selbst Arbeit \(W\) verrichten (rechts)

Die linke Animation in Abb. 1 zeigt, wie einem System von außen Energie \(\Delta E\) zugeführt wird; am System wird dabei die Arbeit \(W\) verrichtet. Die rechte Animation zeigt, wie ein System die Energie \(\Delta E\) abgibt; das System verrichtet dabei die Arbeit \(W\).

Bedeutung des Vorzeichens

Mit Hilfe eines Vorzeichens für die Arbeit kann man berücksichtigen, ob am System oder vom System Arbeit verrichtet wird:

  • Wird am System Arbeit verrichtet, so zählt man \(W\) positiv (\(W > 0\); Kraft und Weg sind gleichgerichtet) und auch \(\Delta E\) ist positiv \(\Delta E > 0\) (die Energie des Systems nimmt ja zu).

  • Verrichtet das System Arbeit, so ist \(W < 0\) und \(\Delta E < 0\).

Abb. 1 Bestimmung des Anteils der Kraft, die parallel zum Weg $\vec{s}$ wirkt.

Arbeit bei Kraftwirkung unter einem Winkel $\alpha$

Für die Berechnung der jeweiligen Arbeit gibt es entsprechende Formeln. Dabei ist noch die Richtung des Kraftvektors in Bezug auf den Wegvektor zu beachten. Bildet der Kraftvektor $\vec{F}$ mit dem Wegvektor $\vec{s}$ den Winkel der Weite $\alpha$, so ist nur der Anteil der Gesamtkraft relevant, der in dieselbe Richtung zeigt wie der Wegvektor $\vec{s}$. Diesen Anteil ermittelt man über die Zerlegung von $\vec{F}$ in zwei Teilkräfte parallel und senkrecht zu $\vec{s}$, wie im Bild gezeigt. Es gilt $|\vec{F}_\parallel|=|\vec{F}|\cdot\cos{\alpha}$ und damit:

\[W=|\vec{F_\parallel}|\cdot|\vec{s}|=|\vec{F}|\cdot|\vec{s}|\cdot\cos(\alpha)\]

Arbeit bei Kraftwirkung unter einem Winkel

Bilden Wegvektor $\vec{s}$ und Kraftvektor $\vec{v}$ einen Winkel $\alpha$, so gilt für die Arbeit:

\[W=|\vec{F}|\cdot |\vec{s}|\cdot\cos{\alpha}\]

Aufgabe
Dehnungsarbeit

An einer horizontal liegenden Feder mit der Federhärte \(2,0\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{cm}}}}\) hängt eine Kugel der Masse \(200{\rm{g}}\) (Reibung kann vernachlässigt werden). Zu Beginn des Versuches ist die Feder schon um \(10{\rm{cm}}\) vorgespannt.

Berechne die Arbeit, die verrichtet werden muss, wenn die Feder zum Schluss um insgesamt \(20{\rm{cm}}\) gedehnt sein soll.

Lösung

Man berechnet die zu verrichtende Arbeit $W$ aus dem Energiegewinn $\Delta E$ des Sytems. Da sich die Lageenergie und auch die kinetische Energie bei dem Vorgang nicht ändert, braucht man nur die Spannenergie zu betrachten. Die Energieänderung und damit die verrichtete Arbeit ist demnach gleich der Differenz aus der Spannenergie nachher und der Spannenergie vorher.

\begin{align*} W=\Delta E & =  E_\text{Spann, nachher}- E_\text{Spann, vorher}\\
& =  \frac{1}{2}\cdot D\cdot x_\text{nachher}^2-\frac{1}{2}\cdot D\cdot x_\text{vorher}^2  \\
& =   \frac{1}{2}\cdot D\cdot \left( x_\text{nachher}^2-x_\text{vorher}^2\right)\end{align*}

 

Einsetzen der gegebenen Werte liefert:

\[W=\Delta E = \frac{1}{2}\cdot 200\,\frac{\text{N}}{\text{m}}\cdot\left( (0,20\,\text{m}^2)-(0,10\,\text{m}^2)\right)=3,0\,\text{J}\]

 

Beschleunigungsarbeit

Fritzchen schiebt seine auf einem Schlitten sitzende Schwester (Reibung kann vernachlässigt werden) und hat eine Geschwindigkeit von $7,2\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$ erreicht. Nun kommt ihm sein großer Bruder zur Hilfe und innerhalb einer Strecke von $8,0\,m$ verdoppeln sie die Geschwindigkeit von Schlitten samt Schwester ($m=60\,kg$).

Berechne die Beschleunigungsarbeit, die die beiden Brüder verrichteten.

Berechne den Betrag der Kraft, die sie auf den Schlitten ausübten.

Lösungsvorschläge

Lösung

Man berechnet die zugeführte Arbeit $W$ aus dem Energiegewinn $\Delta E$ des Systems: Da sich die potentielle Energie bei dem Vorgang nicht ändert und keine Spannenergie auftritt, braucht man nur die kinetische Energie betrachten. Die Energieänderung und damit die verrichtete Arbeit ist demnach gleich der Differenz aus der Bewegungsenergie nachher und der Bewegungsenergie vorher:

\begin{align*} W=\Delta E & =  E_\text{kin, nachher}- E_\text{kin, vorher}\\
& =  \frac{1}{2}\cdot m\cdot v_\text{nachher}^2-\frac{1}{2}\cdot m\cdot v_\text{vorher}^2  \\
& =   \frac{1}{2}\cdot m\cdot \left( v_\text{nachher}^2-v_\text{vorher}^2\right)\end{align*}

Einsetzen der gegebenen Werte liefert:

\[W=\Delta E = \frac{1}{2}\cdot 60\,\text{kg}\cdot\left( (4,0\,\frac{\text{m}}{\text{s}}^2)-(2,0\,\frac{\text{m}}{\text{s}}^2)\right)=360\,\text{J}\]

 

Man berechnet die ausgeübte Kraft aus der Beziehung $W=F\cdot s$, falls, wie hier gegeben, die Kraft längs des Weges konstant und diesem gleichgerichtet ist:

\[W=\cdot F\cdot s \Leftrightarrow F =\frac{W}{s}\Rightarrow F=\frac{360\,\text{J}}{8,0\,\text{m}}=45\,N\]

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