Bei einer Federpistole wird die Feder mit der Federkonstanten \(90,0\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}}\) um die Strecke \(y_1 = 16,0\rm{cm}\) zusammengedrückt bis sie einrastet. Dann wird eine Kugel der Masse \(100\rm{g}\) auf die Feder gelegt (Bild I) und anschließend vertikal nach oben geschossen. Die Reibung und die Federmasse sind zu vernachlässigen.
a)
Berechne, an welcher Stelle \(y_2\) die Kugel die größte Geschwindigkeit hat (Bild II). Tipp: Überlege dir das Zusammenspiel der beiden auf die Kugel einwirkenden Kräfte.
b)
Berechne die Geschwindigkeit der Kugel an der bei Teilaufgabe a) berechneten Stelle.
c)
Berechne die Höhe \(y_3\), die die Kugel über der Ausgangslage erreicht (Bild III).
Die maximale Geschwindigkeit besitzt die Kugel in dem Punkt, in dem der Betrag \(F_\text{F}\) der Spannkraft der Feder gleich dem Betrag \(F_\text{G}\) der Gewichtskraft der Kugel ist. Dies ist so, da die Kugel an jedem Punkt darunter noch von der Feder nach oben beschleunigt und in jedem Punkt darüber schon wieder von der Gewichtskraft abgebremst wird. Bezeichnet man mit \(y\) die Länge der Strecke, um die die Feder dann noch zusammengedrückt ist, so ergibt sich
\[{F_{\rm{F}}} = {F_{\rm{G}}} \Leftrightarrow D \cdot y = m \cdot g \Leftrightarrow y = \frac{{m \cdot g}}{D} \Rightarrow y = \frac{{0,100{\rm{kg}} \cdot 9,81\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}}{{90,0\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}}}} = 0,011{\rm{m}}\]
Die Feder ist also in der Gleichgewichtslage um \(1,1\mathrm{cm}\) zusammengedrückt, die Höhe \(y_2\) ist also \(y_1 - y = 16,0\mathrm{cm} - 1,1\mathrm{cm} = 14,9\mathrm{cm}\).
b)
Wir betrachten die folgende Energiebilanztabelle:
Position
I
II
III
\({E_{{\rm{pot}}}}\)
-
\(m \cdot g \cdot y_2\)
\(m \cdot g \cdot y_3\)
\({E_{{\rm{kin}}}}\)
-
\(\frac{1}{2} \cdot m \cdot {v_{{\rm{II}}}}^2\)
-
\({E_{{\rm{Spann}}}}\)
\(\frac{1}{2} \cdot D \cdot {y_1}^2\)
\(\frac{1}{2} \cdot D \cdot {y}^2\)
-
\({E_{{\rm{ges}}}}\)
\(\frac{1}{2} \cdot D \cdot {y_1}^2\)
\(m \cdot g \cdot y_2 + \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v_{{\rm{II}}}}^2 + \frac{1}{2} \cdot D \cdot {y}^2\)
\(m \cdot g \cdot y_3\)
Da nach dem Energieerhaltungssatz die Gesamtenergie des Systems zu allen Zeitpunkten, also insbesondere zu den Zeitpunkten I und II, gleich sein muss, gilt
\[\frac{1}{2} \cdot D \cdot {y_1}^2 = m \cdot g \cdot {y_2} + \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v_{{\rm{II}}}}^2 + \frac{1}{2} \cdot D \cdot {y^2}\]
Auflösen dieser Gleichung nach \({v_{{\rm{II}}}}\) ergibt
\[{v_{{\rm{II}}}} = \sqrt {\frac{{\frac{1}{2} \cdot D \cdot {y_1}^2 - \frac{1}{2} \cdot D \cdot {y^2} - m \cdot g \cdot {y_2}}}{{\frac{1}{2} \cdot m}}} \]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[{v_{{\rm{II}}}} = \sqrt {\frac{{\frac{1}{2} \cdot 90,0\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}} \cdot {{\left( {0,160{\rm{m}}} \right)}^2} - \frac{1}{2} \cdot 90,0\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}} \cdot {{\left( {0,011{\rm{m}}} \right)}^2} - 0,100{\rm{kg}} \cdot 9,81\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 0,149{\rm{m}}}}{{\frac{1}{2} \cdot 0,100{\rm{kg}}}}} = 4,47\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]
c)
Entsprechend der Überlegungen zu Aufgabenteil b) muss die Gesamtenergie des Systems auch zu den Zeitpunkten I und III gleich sein. Damit gilt
\[\frac{1}{2} \cdot D \cdot {y_1}^2 = m \cdot g \cdot {y_3} \Leftrightarrow {y_3} = \frac{{\frac{1}{2} \cdot D \cdot {y_1}^2}}{{m \cdot g}} \Rightarrow {y_3} = \frac{{\frac{1}{2} \cdot 90,0\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}} \cdot {{\left( {0,160{\rm{m}}} \right)}^2}}}{{0,100{\rm{kg}} \cdot 9,81\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}} = 1,18{\rm{m}}\]
